Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues

Exercice 2-1

Soit $x\in ℝ$. On note $X$ sa mesure d'irrationalité, c'est-à-dire la borne supérieure (éventuellement infinie) de l'ensemble des réels $d$ tels que $0<|x-p/q|<1/q^d$ pour une infinité de couples $(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{*}$.

1. Pourquoi a-t-on toujours $X\ge 1$ ?
2. Soit $Y$ la borne inférieure de l'ensemble des réels $d$ pour lesquels :

   il existe $A>0$ tel que $|x-\frac{p}{q}|\ge \frac{A}{q^d}$ pour tout rationnel $\frac{p}{q}\ne x$.

   Démontrer que $Y=X$. (Indication : montrer que $\mathrm{\forall }d>Xd\ge Y$ et que $\mathrm{\forall }d>Y\mathrm{\forall }\epsilon >0d+\epsilon \ge X$.)

3. Démontrer que la mesure d'irrationalité de tout rationnel est égale à $1$.

Exercice 2-2

Soit $x$ un irrationnel. On pose $C:=\{(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{*}\mid |x-p/q|<1/q^2\}$ et $F:=\{p/q\mid (p,q)\in C\}$.

1. Déduire du théorème d'approximation de Dirichlet que $F$ est infini.
2. En déduire que la mesure d'irrationalité de $x$ est supérieure ou égale à $2$.

Exercice 2-3

1. Montrer qu'un réel $x$ est de Liouville (c'est-à-dire de mesure d'irrationalité infinie) si et seulement si pour tout entier $n$, il existe des entiers $q_n>1$ et $p_n$ tels que $0<|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^n}$.
2. En déduire que pour tout entier $b>1$ et toute suite $(a_k{)}_{k>0}$ d'entiers compris entre $0$ et $b-1$, le nombre $x:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{b^{k!}}$ est de Liouville, à condition bien sûr qu'une infinité de $a_n$ soient non nuls. Indication : poser $q_n=b^{n!}$ et $p_n=q_n\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}$.
3. En déduire que l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu.

Exercice 2-4

Démontrer la proposition suivante du cours : si

$\begin{array}{ccc}{h}_{-2}=0,& h_{-1}=1,& h_p=a_p{h}_{p-1}+h_{p-2}\\ k_{-2}=1,& k_{-1}=0,& k_p=a_p{k}_{p-1}+k_{p-2}\end{array}$

alors ($\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$) :

1. $[a_0,a_1,\dots ,a_p]=\frac{h_p}{k_p}=\frac{a_p{h}_{p-1}+h_{p-2}}{a_p{k}_{p-1}+k_{p-2}}$ ;
2. $a_p=-\frac{h_p{k}_{p-2}-h_{p-2}{k}_p}{h_p{k}_{p-1}-h_{p-1}{k}_p}=-\frac{[a_0,a_1,\dots ,a_p]k_{p-2}-h_{p-2}}{[a_0,a_1,\dots ,a_p]k_{p-1}-h_{p-1}}$ ;
3. $h_{p-1}{k}_p-h_p{k}_{p-1}=(-1{)}^p$.

Exercice 2-5

1. Soient $a_0\in \mathbb{Z}$, $x_1\in ]1,+\mathrm{\infty }[$ et $x_0:=[a_0,x_1]$. Vérifier que $a_0=\lfloor x_0\rfloor$.
2. En déduire la fin de la preuve du théorème de [[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Bijection entre irrationnels et fractions continues infinies|bijection entre irrationnels et fractions continues infinies]], c'est-à-dire : soient $(a_n)$ une fraction continue simple infinie, $\ell$ la limite (irrationnelle) de la suite de ses réduites et $(b_n)$ la fraction continue de $\ell$ ; montrer (par récurrence bien fondée) que $(b_n)=(a_n)$.
3. En déduire également qu'un rationnel n'a qu'un développement (en fraction continue simple finie) de la forme $[a_0,\dots ,a_N]$ avec $a_N>1$ (donc n'a que deux développements, le second étant $[a_0,\dots ,a_N-1,1]$).

Exercice 2-6

Soient $x$ un irrationnel, $(h_n/k_n)$ la suite de ses réduites et $h/k$ un rationnel ($h\in \mathbb{Z},k\in {\mathbb{N}}^{*}$).

1. On rappelle (cf. preuve du [[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Meilleure approximation|théorème de meilleure approximation]]) que pour tout $n$ tel que $k_{n+1}>k$, on a $|kx-h|\ge |k_{n}x-h_n|$. Montrer que pour un tel $n$,

   $|\frac{h}{k}-\frac{h_n}{k_n}|\le (\frac{1}{k}+\frac{1}{k_n})|kx-h|$.

2. Montrer qu'il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $k_n\le k<k_{n+1}$ et déduire de la question précédente que pour un tel $n$, $|h{k}_n-h_{n}k|\le 2k|kx-h|$.
3. En déduire que si $|x-\frac{h}{k}|<\frac{1}{2k^2}$ alors $\frac{h}{k}$ est égal à l'une des réduites de $x$.
4. Application : soient $d$ un entier positif non carré et $a,b$ deux entiers strictement positifs tels que $a^2-d{b}^2=\pm 1$.
   Montrer que $\frac{a}{b}+\sqrt{d}\ge 1+\sqrt{d}>2$ et en déduire que $\frac{a}{b}$ est l'une des réduites de $\sqrt{d}$.

   Cette propriété complète le devoir sur l'équation de Pell-Fermat.

5. Utilité du facteur $\frac{1}{2}$ : trouver une fraction $\frac{h}{k}$ telle que $|\sqrt{5}-\frac{h}{k}|<\frac{1}{k^2}$ mais qui ne fait pas partie des réduites de $\sqrt{5}$.

Exercice 2-7

Cet exercice constitue une démonstration du [[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Fraction continue d'un irrationnel quadratique|théorème de Lagrange]] sur les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang.

Soient $x$ un irrationnel et, dans son développement en fraction continue, $\left(x_n\right)$ la suite des quotients complets et $\left(a_n\right)$ celle des quotients partiels.

1. Montrer que si $\left(a_n\right)$ est $p$-périodique ($p\ge 1$) à partir du rang $r$ alors $x_r$ est un irrationnel quadratique, c'est-à-dire algébrique de degré 2 et en déduire qu'alors, $x$ aussi.
   Indication : d'après l'équation générique $a_p=-\frac{[a_0,a_1,\dots ,a_p]k_{p-2}-h_{p-2}}{[a_0,a_1,\dots ,a_p]k_{p-1}-h_{p-1}}$ vue dans l'exercice 2-4, on a $x_r=-\frac{x{k}_{r-2}-h_{r-2}}{x{k}_{r-1}-h_{r-1}}$ et de même, $x_{r+p}=-\frac{x_{r}a-b}{x_{r}c-d}$ pour certains entiers $a,b,c,d$ avec $c\ne 0$.
2. Réciproquement, dans toute la suite de l'exercice, on suppose que $x$ est racine d'un polynôme de degré 2 à coefficients entiers, noté $P_0={\alpha }_0{X}^2+{\beta }_{0}X+{\alpha }_{-1}$. En utilisant que $x_n=a_n+1/x_{n+1}$, construire par récurrence une suite de couples $({\alpha }_n,{\beta }_n)\in {\mathbb{Z}}^{*}\times \mathbb{Z}$ telle que $x_n$ soit racine du polynôme $P_n:={\alpha }_n{X}^2+{\beta }_{n}X+{\alpha }_{n-1}$.
3. Vérifier que la suite des discriminants ${\beta }_n^2-4{\alpha }_n{\alpha }_{n-1}$ est constante.
4. Pour tout irrationnel quadratique $y$, notons $y_c$ son « conjugué », c'est-à-dire l'autre racine de son polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$. Calculer le produit ${\left(x_n\right)}_c{x}_n$ en fonction des coefficients de $P_n$.
5. Un petit lemme utile pour les deux questions suivantes : montrer que pour tout irrationnel quadratique $y$ et tous rationnels $u\ne 0$ et $v$, on a ${(uy+v)}_c=u{y}_c+v$ et ${\left(\frac{1}{y}\right)}_c=\frac{1}{y_c}$.
   Indication : déterminer d'abord le polynôme minimal de $uy+v$, en fonction de $u$, $v$ et des coefficients $S:=\mathrm{Tr}(y):=y+y_c$ (« trace » de $y$) et $P:=\mathrm{N}(y):=y\times y_c$ (« norme » de $y$) du polynôme minimal $X^2-SX+P$ de $y$. Faire de même pour $\frac{1}{y}$.
6. Montrer que pour au moins un $j>0$, ${\left(x_j\right)}_c<1$ (en montrant que sinon, $x$ et $x_c$ auraient même fraction continue, ce qui est absurde).
7. Pour un tel $j$, démontrer que $\mathrm{\forall }k\ge j{\left(x_{k+1}\right)}_c<0$ et en déduire que ${\alpha }_k$ et ${\alpha }_{k+1}$ sont de signes contraires.
8. En déduire que les coefficients de $P_n$ ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.
9. En déduire que $\left(x_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ sont périodiques à partir d'un certain rang.
10. Le vérifier sur l'exemple $x=-\sqrt{5}$ et calculer la suite des polynômes $P_n$ associés, ainsi que les réduites jusqu'à l'indice $3$ et un encadrement de $x$.

Exercice 2-8

Cet exercice constitue une démonstration du [[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Fraction continue d'un irrationnel quadratique|corollaire de Galois]] sur les fractions continues purement périodiques.

Soient $x$ un irrationnel quadratique, $\left(x_n\right)$ la suite de ses quotients complets, $\left({\left(x_n\right)}_c\right)$ la suite de leurs conjugués et $\left(a_n\right)$ la suite de ses quotients partiels. D'après l'exercice précédent, ces suites sont donc Modèle:Nobr à partir d'un certain rang (pour un certain entier $p\ge 1$).

1. On pose $y_n=-\frac{1}{{\left(x_n\right)}_c}$. Montrer que $y_{n+1}=a_n+\frac{1}{y_n}$.
2. On suppose que $x=\left[\overline{a_0,a_1,\dots ,a_{p-1}}\right]$. D'après l'exercice précédent (question 7), tous les $y_n$ sont donc positifs. Montrer qu'ils sont même supérieurs à $1$, et que le développement de $y_0$ en fraction continue est $\left[\overline{a_{p-1},\dots ,a_1,a_0}\right]$. En déduire que $x$ est un irrationnel quadratique « réduit », c'est-à-dire que $x>1$ et $-1<x_c<0$, ou encore : $x_0,y_0>1$.
3. Réciproquement, on suppose que $x$ est réduit. Montrer qu'alors, pour tout $n$, $\frac{1}{y_n}$ est la partie fractionnaire de $y_{n+1}$, et en déduire que $x=\left[\overline{a_0,a_1,\dots ,a_{p-1}}\right]$.

Exercice 2-9

Cet exercice constitue une démonstration du [[../../Approximation diophantienne et fractions continues#Fraction continue d'un irrationnel quadratique|corollaire de Legendre]] sur les fractions continues des racines carrées de rationnels.

1. Soit $d>1$ un rationnel non carré d'un rationnel, et soit $a_0$ la partie entière de $\sqrt{d}$. Montrer que l'irrationnel quadratique $y:=a_0+\sqrt{d}$ est « réduit » (notion définie dans l'exercice précédent). Son développement est donc purement périodique : $y=\left[\overline{b_0,b_1,\dots ,b_{p-1}}\right]$. Écrire de deux façons (en fonction de $a_0$ et des $b_k$) le développement en fraction continue de $\sqrt{d}$ et en déduire qu'il est de la forme $[a_0,\overline{a_1,a_2,\cdots ,a_2,a_1,2a_0}]$.
2. Réciproquement, soit $x$ un irrationnel dont le développement en fraction continue est de la forme $[a_0,\overline{a_1,a_2,\cdots ,a_2,a_1,2a_0}]$ (ce qui implique $x>1$). Écrire le développement en fraction continue de $y:=a_0+x$ et en déduire que $-x_c=x$ puis, que $x^2\in \mathbb{Q}$.
3. Calculer les développements en fraction continue de $\sqrt{5}$ et $\sqrt{23}$.

Exercice 2-10

(Exercice iii de Baker Modèle:P..)

Soient $a\in {\mathbb{N}}^{*}$, $\theta$ la racine positive de l'équation $x^2-ax-1=0$ et ${\theta }^{\prime }$ l'autre racine.

1. Montrer que $\theta$ est irrationnel.
2. Montrer que les dénominateurs des réduites $h_n/k_n$ du développement en fraction continue $\theta =[a_0,a_1,\dots ]$ sont donnés par

   $k_{n-1}=\frac{{\theta }^n-\theta {\text{'}}^n}{\theta -{\theta }^{\prime }}$.

3. Pour $a=1$, reconnaître le réel $\theta$ et la suite $\left(k_n\right)$.

Exercice 2-11

On cherche à faire le lien (utilisé dans le devoir sur les nombres équivalents) entre les fractions continues de deux irrationnels opposés,

$x=[a_0,a_1,\dots ]\text{et}-x=[b_0,b_1,\dots ]$.

1. Exprimer $b_0$ en fonction de $a_0$.
2. Vérifier l'égalité (entre fractions rationnelles en les indéterminées $X,Y$) :

   $-[X,1,Y]=[-X-1,Y+1]$.

3. En déduire que si $a_1=1$ alors

   $b_1=a_2+1\text{et}\mathrm{\forall }k\ge 2b_k=a_{k+1}$.

4. En déduire que si $a_1>1$ alors

   $b_1=1,b_2=a_1-1\text{et}\mathrm{\forall }k\ge 3b_k=a_{k-1}$

   (indication : intervertir les rôles de $x$ et $-x$).

Exercice 2-12

1. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Démontrer que $\sqrt{n^2+2}=[n,\overline{n,2n}]$.
2. Quel(s) théorème(s) ce résultat illustre-t-il ?

Voir aussi

Devoirs :

• [[../../Devoir/Nombres équivalents|Nombres équivalents]] ;
• [[../../Devoir/Équation de Pell-Fermat|Équation de Pell-Fermat]].