Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Principe local-global pour les carrés

Modèle:Devoir Modèle:Wikipédia Soit $a$ un entier relatif non carré. On se propose de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels le nombre $a$ n'est pas un carré (ce qui affine le théorème d'Euclide), en utilisant la loi de réciprocité quadratique étendue au [[../../Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-14|symbole de Jacobi]] ; mais au lieu d'utiliser, comme dans l'[[../../Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-15|exercice 4-15]], le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, on va simplement raisonner comme Euclide en montrant que, pour tout ensemble fini de nombres premiers, il existe un nombre premier n'appartenant pas à cet ensemble et modulo lequel $a$ n'est pas un carré.

On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants $r_i$ (non tous pairs) dans la décomposition

$a=(-1{)}^{r_0}{2}^{r_1}{p}_2^{r_2}\dots p_m^{r_m}$,

où les $p_i$ sont des nombres premiers impairs distincts.

1. On suppose dans cette question que $r_2,\dots ,r_m$ ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les $p_i$) $r_2$ est impair. Soit $\{l_1,\dots ,l_k\}$ un ensemble fini de nombres premiers différents de $p_2$.
   1. Montrer qu'il existe un entier naturel $x$ non carré $mod{p}_2$ et congru à $1mod8p_3\dots p_m{l}_1\dots l_k$ (donc impair).
   2. Soit $x=q_1^{u_1}\dots q_n^{u_n}$ sa décomposition en facteurs premiers. En écrivant de deux façons le symbole de Jacobi $\left(\frac{a}{x}\right)$, montrer que l'un au moins des $\left(\frac{a}{q_j}\right)$ est égal à $-1$.
   3. Conclure.
2. On suppose maintenant que $r_2,\dots ,r_m$ sont pairs et $r_1$ impair. Soit $\{l_1,\dots ,l_k\}$ un ensemble fini de nombres premiers impairs.
   1. Montrer qu'il existe un entier naturel $x$ congru à $-3mod8$ et premier avec $p_2\dots p_m{l}_1\dots l_k$.
   2. Conclure en procédant comme dans la question précédente.
3. On suppose enfin que $r_1,\dots ,r_m$ sont pairs et $r_0$ impair. Soit $\{l_1,\dots ,l_k\}$ un ensemble fini de nombres premiers. En considérant l'entier $x:=-1+4p_2\dots p_m{l}_1\dots l_k$, conclure de même.

Référence

Modèle:Ouvrage, ne traitent que le cas d'un entier naturel $a$ non carré. Autrement dit : $r_0=0$ et la question 3 n'est pas envisagée. Par ailleurs, ils commencent par se ramener au cas où $a$ est sans facteur carré (sans y gagner vraiment).