Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel

Modèle:Devoir Modèle:Wikipédia Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante d'entiers $\ge 2$.

1. Montrer que la série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u_0{u}_1\dots u_n}$ converge vers un réel $x\in ]0,1]$.
   On dit alors que $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u_0{u}_1\dots u_n}$ est un développement de $x$ en série de Engel.
2. Montrer que $u_0=\lfloor \frac{1}{x}\rfloor +1$ et en déduire que le développement de $x$ en série de Engel est unique.
3. Montrer que tout réel de $]0,1]$ possède un développement en série de Engel.
4. Montrer que si la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est stationnaire alors $x$ est rationnel.
5. Prouver la réciproque.