Introduction à l'acoustique/Équation d'onde

Nous avons établi une équation à la fin du chapitre précédent, qui décrit la dynamique du milieu étudié (ce n'est après tout que l'équation d'Euler). Ce chapitre-ci s'intéresse à sa signification.

Une équation linéaire

Réécrivons l'équation en question : $\mathrm{\Delta }p-{\rho }_0{\chi }_s\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$ Il s'agit avant tout d'une équation linéaire : en effet, l’opérateur laplacien comme l'opérateur de dérivation sont linéaires, et le coefficient ${\rho }_0{\chi }_s$ est constant. Une première conséquence est la suivante :

On peut étudier cette équation en la projetant sur les axes de coordonnées, puis en étudiant indépendamment chacune des équations projetées.

Désormais, nous nous attacherons ainsi à l'étude sur une seule dimension. On a donc, en notant x la coordonnée concernée :

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-{\rho }_0{\chi }_s\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0(3)$

Une équation d'onde

Démonstration

On peut aisément vérifier que toutes les fonctions de la forme : $p(x,t)=p_{(+)}(x-\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_s}}t)$ et toutes les fonctions de la forme : $p(x,t)=p_{(-)}(x+\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_s}}t)$ sont des solutions de (3). On remarque qu’il s'agit de fonctions qui se « translatent » lorsque t varie. On remarque même que les fonctions du type « $p_{(+)}$ » se translatent vers la droite et que celles du type « $p_{(-)}$ » se translatent vers la gauche.

On remarque directement que : $\left[\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_s}}\right]\equiv \left[x\right]\cdot {\left[t\right]}^{-1}=L\cdot T^{-1}$ Autrement dit, cette quantité est homogène à une vitesse — c’est d'ailleurs la vitesse à laquelle se translate la fonction. On notera donc, dans toute la suite :

$c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_s}}$

Et on l'appellera célérité de l'onde.

On prendra soin de remarquer qu’il n'y a pas de problème à dire ici que c est mesurée dans le référentiel du laboratoire. En effet, le support matériel (le fluide) constitue un référentiel privilégié à partir duquel on peut faire des mesures. Par contre, pour la lumière, qui peut se propager dans le vide, aucun tel référentiel n'existe : c’est la base de la théorie de la relativité, où la vitesse de la lumière est constante dans tous les référentiels.

Les gaz parfaits

Le cas des gaz parfaits est intéressant dans la mesure où ses propriétés thermodynamiques sont entièrement connues. En effet, ils sont complètement décrits par leur équation d'état :

$P_{\text{tot}}V=nRT$

$\frac{P_{\text{tot}}}{RT}=\frac{n}{V}=\frac{{\rho }_{\text{tot}}}{M}$

Donc, en notant M la masse molaire moléculaire du gaz :

${\rho }_{\text{tot}}=\frac{M{P}_{\text{tot}}}{RT}$

Reste à trouver le coefficient de dilatation isentropique. On utilise pour cela l'équation de Laplace, valable pour une transformation isentropique : $P_{\text{tot}}{V}^{\gamma }=\text{cte}$. En prenant la dérivée logarithmique de cette relation :

$\frac{\mathrm{d}{P}_{\text{tot}}}{P_{\text{tot}}}+\gamma \frac{\mathrm{d}V}{V}=0$

Et en reprenant la définition de ${\chi }_s$, on obtient directement, à l’ordre un :

${\chi }_s=\frac{1}{\gamma P_0}$

Ce qui donne l’expression de la vitesse des ondes se propageant dans un gaz parfait :

$c=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

Pour l'air, à température ambiante :

• $\gamma$ = 1,4
• M = Modèle:Unité
• R = 8,314 SI
• T = 298 K

On trouve c = 343 m.s⁻¹, ce qui est très proche de la vitesse réelle (environ 343 m.s⁻¹ !) et confirme tant l'efficacité du modèle des gaz parfaits que l'équation d'onde établie précédemment.

On peut questionner l'importance de c. Il s'agit de la « vitesse du son », et nos approximations sont valables lorsqu'on est à faible vitesse devant c. Il est ainsi possible de préciser le sens de l'approximation faite sur v : $v\ll c$ Pour s'en convaincre, on peut observer qu'en atteignant c, les avions doivent franchir un « mur du son », qui n’est pas une onde et n'est donc pas décrit par notre équation. Nous allons de toute manière le montrer dans la section « Retour sur les hypothèses ».

Solution générale

La solution générale, par linéarité de l'équation d'onde, est somme d'une solution se propageant vers la droite et d'une solution se propageant vers la gauche. En vertu du théorème de Fourier, on sait cependant que tout signal peut être décomposé en somme de signaux sinusoïdaux. Par conséquent, on sera presque systématiquement amenés à considérer des ondes sinusoïdales, dites harmoniques ou monochromatiques.

Une onde se propageant identiquement dans toutes les directions d'espace est dite « sphérique ». Une onde qui se propage dans une seule direction est dite « plane ».

Retour sur les hypothèses

La vitesse

Nous avons supposé la vitesse v « suffisamment petite » pour pouvoir négliger les termes convectifs dans l'équation d'Euler, qui sont d'ordre deux. En ordres de grandeur :

$\left|(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯\right|\approx \frac{v^2}{\lambda }$ et $\left|\left|\frac{\partial 𝐯}{\partial t}\right|\right|\approx \frac{v}{T}=vf$

Le rapport de la première expression sur la seconde vaut ainsi environ :

$\frac{\left|(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯\right|}{\left|\left|\frac{\partial 𝐯}{\partial t}\right|\right|}\approx \frac{v}{\lambda f}=\frac{v}{c}$

Ainsi, le terme convectif est négligeable devant la dérivée temporelle si et seulement si $v\ll c$. Pour l'air, le rapport v/c est d'environ 7.10Modèle:Exp. Nous avons ainsi justifié le sens d'une « petite vitesse » et le rôle particulier de la célérité c de l'onde dans nos approximations.

L'isentropie

Nous allons admettre ici un résultat de la théorie de la diffusion afin de ne pas alourdir ce chapitre : pendant une durée T, la distance sur laquelle la diffusion s'effectue est de l’ordre de : $L=\sqrt{DT}$ avec D une constante appelée « coefficient de diffusion ». Pour vérifier l'isentropie (ou l'adiabaticité) il faut que cette distance soit petite devant une distance caractéristique : la longueur d'onde. Ainsi, l'isentropie tient si :

$DT\ll {\lambda }^2$

C'est-à-dire :

$D\frac{1}{f}\ll \frac{c^2}{f^2}$

Soit enfin :

$f\ll \frac{c^2}{D}$

Conclusion : l'isentropie est valable pour des fréquences basses. Pour l'air, on calcule que le rapport c²/D vaut environ 6.10Modèle:Exp Hz, ce qui correspond à une fréquence bien supérieure à ce qui est audible par l'homme.

Conclusion générale sur les hypothèses

Dans le cadre des applications humaines, les ordres de grandeurs considérés se conforment très bien aux approximations faites dans cette leçon. On s'en sert parfois même lorsque certaines sont violées, tant ce modèle simple peut se révéler précis dans certains cas. Il s'agit donc d'approximations pertinentes et efficaces.