Introduction à l'élasticité/Déformations

Introduction

La cinématique est globalement l'étude d'un mouvement indépendamment de ses causes, et fournit ainsi essentiellement des outils descriptifs. Il s'agit donc de pouvoir définir et décrire un solide et les déformations qu’il peut subir.

Ce chapitre s'adresse avant tout aux lecteurs qui ne sont pas familiers avec la mécanique des milieux continus (mécanique des fluides…).

Concepts et définitions

Il faut tout d’abord introduire un certain nombre de notions adaptées à la description des milieux continus. On peut noter que la à plupart d'entre elles ne sont pas spécifiques à l'élasticité, ni même d'ailleurs aux solides, et sont tout à fait générales.

Éléments mésoscopiques

Contrairement aux solides rigides, les corps continus ne sont pas décrits par un seul jeu de coordonnées. Au lieu de cela, on considère un élément dit mésoscopique, c'est-à-dire :

Dans l'étude d'un barreau de fer, une telle échelle serait d'environ Modèle:Unité (petit devant la taille de la barre, grand devant les atomes). Dans l'étude d'une dune de sable, elle pourrait être de Modèle:Unité.

Chacun de ces éléments mésoscopiques peut être repéré : on lui associe une position (x), une vitesse… C'est le déplacement de ces éléments et leurs interactions qui vont nous intéresser dans l'étude physique du problème.

Par abus de langage, on parlera d'un « point du solide » au lieu de l'élément mésoscopique qui contient ce point.

Déformations

Modèle:Définition

Modèle:Définition

Dans le cas particulier des coordonnées cartésiennes, cette expression s'écrit encore :

$F_{i,j}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}$

Déplacements

Même lorsqu'on laisse un objet intouché, le gradient des déformations n’est pas nul (il vaut, dans ce cas, l'identité). On souhaiterait définir une quantité équivalente, mais qui soit nulle lorsqu'un solide n’est pas déformé : cela permettra notamment d'effectuer des développements limités pour des configurations peu différentes de la configuration de départ.

Modèle:Définition

Tenseur de Green-Lagrange

Nous avons vu comment mettre en équations les déformations subies par un solide. Nous allons construire un objet, le tenseur de Green-Lagrange, dont les propriétés permettent d'accéder à des informations élémentaires sur la déformation, tout en la décrivant.

Propriétés de la déformation

Si e est un vecteur unitaire, l'allongement relatif selon sa direction est donné par :

$\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=2𝐄\left(𝐞\right)\cdot 𝐞$

où l₀ est la distance entre deux points avant déformation et l la distance entre ces mêmes deux points après déformation. Ce résultat est rigoureux.

TODO : développer le lien entre E (e₁) · e₂ et l'angle θ_1,2

Variations de volume

Ce paragraphe illustre une utilisation du tenseur de Green-Lagrange et peut être sauté en première lecture.

Tenseur infinitésimal

Définition

Dans le cas de petites déformations — ce qui est le cadre de l'élasticité — nous allons pouvoir simplifier l’expression du tenseur de Green-Lagrange. Dans toutes les applications pratiques, c’est à cette expression simplifiée que l’on fera référence.

Pour démontrer ce résultat, on fait l'hypothèse que les termes d'ordre deux et plus en gradient de u sont négligeables :

$\begin{array}{cc}𝐄& =\frac{1}{2}({𝐅}^{\mathrm{T}}𝐅-\mathrm{𝟏})\\ & =\frac{1}{2}({𝐃}_{𝐗}{\mathit{\phi }}^{\mathrm{T}}{𝐃}_{𝐗}\mathit{\phi }-\mathrm{𝟏})\\ & =\frac{1}{2}({𝐃}_{𝐗}{(𝐮+𝐗)}^{\mathrm{T}}{𝐃}_{𝐗}(𝐮+𝐗)-\mathrm{𝟏})\\ & =\frac{1}{2}({𝐃}_{𝐗}{𝐮}^{\mathrm{T}}{𝐃}_{𝐗}𝐮+{𝐃}_{𝐗}𝐮+{𝐃}_{𝐗}{𝐮}^{\mathrm{T}})\\ & \approx \frac{1}{2}({𝐃}_{𝐗}𝐮+{𝐃}_{𝐗}{𝐮}^{\mathrm{T}})\\ \end{array}$

Tenseur de rotation

Ce paragraphe peut être sauté en première lecture

Propriétés

• Par construction, ε est symétrique.
• Par construction, W est anti-symétrique.
• Si e est un vecteur unitaire, l'allongement relatif selon sa direction est donné par :

$\frac{\mathrm{\Delta }l}{l_0}=\mathit{\epsilon }\left(𝐞\right)\cdot 𝐞$

Ce résultat est approximatif, et valable uniquement pour de petites déformations.

TODO : développer le lien entre ε (e₁) · e₂ et l'angle θ_1,2