Intégration en mathématiques/Exercices/Valeur moyenne

Exercice 3-1

Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}$.

1°  Préciser son ensemble de définition.

2°  On pose :

$I(x)=\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$, pour $x\in {ℝ}_{+}^{*}\setminus \{1\}$.

Prouver qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]x,x^2[$ (ou $]x^2,x[$) tel que :

$I(x)=(x^2-x)f(c)+[\ln |t-1|{]}_x^{x^2}$.

3°  En déduire la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.

Exercice 3-2

Soit $f:[0,\pi ]\to ℝ$ une fonction continue telle que :

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(t)\cos t\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sin t\mathrm{d}t=0$.

Démontrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$0<\alpha <\beta <\pi$ et $f(\alpha )=f(\beta )=0$

Exercice 3-3

Soit la fonction $f$ de $ℝ$ vers $ℝ$ définie par :

$f(x)=\frac{x-1}{|x^2-2x|+1}$.

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1,m](m\in ℝ\setminus \{1\})$.

Exercice 3-4

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction de classe CModèle:Exp, c'est-à-dire que $f^{″}$ est définie sur $[a,b]$ et continue.

1°  Déterminer une primitive de la fonction $\phi$ définie par :

$\phi (x)=(f^{″}(x)+f(x))\sin (x-a)$.

2°  En déduire $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi$.

3°  On suppose que $b-a=\pi$ et $f(a)+f(b)>0$. Prouver qu'il existe un réel $\alpha \in [a,b]$ tel que $f^{″}(\alpha )+f(\alpha )>0$. Modèle:Solution

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