Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 1

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$. Modèle:Clr

Exercice 4-1

$f(x)=(2x+1)(x^2+x-3)$ Modèle:Solution

Exercice 4-2

$f(x)=(3x^2+2x+1)(x^3+x^2+x+1{)}^{\frac{7}{3}}$ Modèle:Solution

Exercice 4-3

$f(x)=(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)$ Modèle:Solution

Exercice 4-4

$f(x)=\frac{\sqrt{x}-x^5+x^6\sqrt{x}}{x^2}$ Modèle:Solution

Exercice 4-5

$f(x)=\frac{4}{2x+1}$ Modèle:Solution

Exercice 4-6

$f(x)={(x^2+\frac{1}{x^2})}^2$ Modèle:Solution

Exercice 4-7

$f(x)={(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}^2$ Modèle:Solution

Exercice 4-8

$f(x)=\frac{{(1-\sqrt{x})}^2}{\sqrt{x}}$ Modèle:Solution

Exercice 4-9

$f(x)=\frac{x^{5/3}+x^{2/3}-2}{x^{1/3}}$ Modèle:Solution

Exercice 4-10

$f(x)=\frac{{(1-\sqrt{x}+\sqrt{x^3})}^2}{\sqrt{x}}$ Modèle:Solution

Exercice 4-11

$f(x)=\frac{6x^5+21x-12\sqrt{x}}{\sqrt{x^5}}$ Modèle:Solution

Exercice 4-12

$f(x)=\frac{x^4-2x^2+2}{(x-1{)}^2}$ Modèle:Solution

Exercice 4-13

$f(x)=\frac{2x^5+2x}{{(x^4-1)}^2}$ Modèle:Solution

Exercice 4-14

$f(x)=\frac{5x^4+40x^2+20x+80}{{(x^2+4)}^2}$ Modèle:Solution

Exercice 4-15

$f(x)=\frac{1}{x^2-9}$ Modèle:Solution

Exercice 4-16

$f(x)=\frac{3x}{x^2+1}$ Modèle:Solution

Exercice 4-17

$f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$ Modèle:Solution

Exercice 4-18

$a(x)=\frac{1}{x(x^2+1)},b(x)=\frac{x-1}{x^2+2x+1},c(x)=\frac{x}{(x^2-4{)}^2},d(x)=\frac{x}{x^2-x+1},e(x)=\frac{x^4}{x^3-1}$. Modèle:Solution

Exercice 4-19

Notons $J_n$ une primitive de $w\mapsto \frac{1}{(1+w^2{)}^n}$.

1. Donner une relation de récurrence liant $J_{n+1}$ à $J_n$.
2. En déduire $J_2$ et $J_3$.
3. Autre méthode : calculer directement $J_{n+1}$ en faisant le changement de variable $\theta =\arctan w$.