Intégration en mathématiques/Exercices/Comparaison

Exercice 2-1

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction continue. Prouver que si :

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$

alors la fonction $f$ est de signe constant. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Soient $f,g:[a,b]\to ℝ$ deux fonctions continues ($a\le b$). Démontrer que si $g$ est positive et si $|f|$ est majorée par une constante $A$, alors :

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x|⩽A\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Soient $f$ une fonction continue positive sur $[a,b]$ avec $0<a<b$ et $F$ une primitive de $f$. Prouver que

$\frac{F(b)-F(a)}{2\sqrt{b}}⩽\underset{\sqrt{a}}{\overset{\sqrt{b}}{\int }}f(t^2)\mathrm{d}t⩽\frac{F(b)-F(a)}{2\sqrt{a}}$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Trouver un encadrement de chacune des intégrales suivantes :

1. $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(3+2\cos t{)}^2}$ ;
2. $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^5}}$.

Exercice 2-5

Soit $\alpha >0$.

1. Prouver que pour $x\in [0,1]$ :

   $1-x^{\alpha }\le \sqrt{1-x^{\alpha }}\le 1-\frac{x^{\alpha }}{2}$.

2. En déduire que :

   $\frac{\alpha }{\alpha +1}<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\frac{\alpha +\frac{1}{2}}{\alpha +1}$.

Exercice 2-6

Soit $f:[0,1]\to ℝ$ une fonction continue telle que, pour tout $x$ de $[0,1]$ :

$\underset{x}{\overset{1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\ge \frac{1-x^2}{2}$.

Soit $F$ une primitive de $f$.

1. Prouver que :

   $F(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}F(x)\mathrm{d}x$.

2. En déduire que :

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x\ge \frac{1}{3}$.

3. En déduire que :

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}[f(x){]}^2\mathrm{d}x\ge \frac{1}{3}$.

Exercice 2-7

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

$\frac{1}{2(n+1)}\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x^2}\mathrm{d}x\le \frac{1}{n+1}$.

Exercice 2-8

1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie par :

   $f(x)={\mathrm{e}}^{x^2}-(\mathrm{e}-1)x^2-1$.

2. Prouver que :

   $\frac{4}{3}<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x<\frac{\mathrm{e}+2}{3}$.

Exercice 2-9

Démontrer que :

$1,13<\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sqrt[3]{4-{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t<1,20$.