Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects

Exercice 16-1

Soient $I$ et $J$ les intégrales suivantes :

$I=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t,J=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t$.

Calculer simultanément $I$ et $J$. Modèle:Solution

Exercice 16-2

Calculer simultanément les intégrales suivantes :

$I=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(a{t}^2+bt+c){\cos }^{2}t\mathrm{d}t$

$J=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(a{t}^2+bt+c){\sin }^{2}t\mathrm{d}t$.

Exercice 16-3

On considère les intégrales :

$A=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos px\cos qx\mathrm{d}x$

$B=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin px\sin qx\mathrm{d}x$

où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls.

Calculer $A-B$ et $A+B$. En déduire $A$ et $B$. Modèle:Solution

Exercice 16-4

Soit $f$ une fonction dérivable.

1°  On pose $g(x)=xf(x)$. Calculer $g^{\prime }(x)$.

2°  Calculer :

$\underset{\mathrm{e}}{\overset{{\mathrm{e}}^2}{\int }}(\sqrt{\ln x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}})\mathrm{d}x$.

Exercice 16-5

On considère les deux intégrales suivantes :

$A=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^t\cos 2t\mathrm{d}t,B=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^t\sin 2t\mathrm{d}t$.

1°  À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à $A$ et à $B$, établir deux relations entre $A$ et $B$. En déduire les valeurs de $A$ et de $B$.

2°  On pose :

$I=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t,J=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^t{\sin }^{2}t\mathrm{d}t$.

Calculer $I+J$ et $I-J$. En déduire les valeurs de de $I$ et de $J$.

Exercice 16-6

Calculer :

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}2t{\mathrm{e}}^{t^2+1}\mathrm{d}t$.

En déduire, par une intégration par parties :

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}2t^3{\mathrm{e}}^{t^2+1}\mathrm{d}t$.

Exercice 16-7

1°  Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Donner, en fonction de $f$ et de $f^{\prime }$, l'expression de la dérivée de la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)=\frac{f(x)}{{\mathrm{e}}^x}$.

2°  Démontrer qu'il existe un couple $(A,B)$ de réels tel que, quel que soit $x\ne -1$, on ait :

$\frac{x+2}{(x+1{)}^2}=\frac{A}{(x+1{)}^2}+\frac{B}{x+1}$.

En déduire qu'il existe une fonction $v$ telle que :

$v(x)-v^{\prime }(x)=\frac{x+2}{(x+1{)}^2}$.

3°  Quel est l'ensemble des primitives de la fonction $F$ lorsque $f(x)=\frac{x+2}{(x+1{)}^2}$ ? Modèle:Solution