Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé. Modèle:Clr

Exercice 22-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\frac{x^2}{4}$ ;

$g(x)=-\frac{x^2}{4}+x+12$.

Exercice 22-2

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\cos x$ ;

$g(x)=\frac{2x}{\pi }+1$.

Exercice 22-3

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^4$ ;

$g(x)=\sqrt[4]{x}$.

Exercice 22-4

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^2$ ;

$g(x)=x+2$.

Exercice 22-5

On considère la fonction $f_{a,b}:=a\sin +b{\sin }^3$.

1°  Calculer $f_{a^{\prime },b}$ et $f_{a^{″},b}$.

2°  En déduire l'expression générale des primitives de la fonction $f_{a,b}$.

3°  Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative $C$ passe par le point $A(\pi /2,0)$ et a une tangente au point d'abscisse $0$ parallèle à la première bissectrice ? Soit $f$ cette fonction.

4°  Étudier la variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

5°  Calculer l’aire comprise entre la courbe $C$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\pi /2$, et donner le résultat en centimètres carrés (unité graphique Modèle:Unité). Modèle:Solution

Exercice 22-6

1°  Soit $f_a$ la fonction définie par :

$f_a(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x^2+ax+1}$

où $a$ est un nombre réel donné.

Pour quelles valeurs de $a$ cette fonction est-elle définie sur $ℝ$ tout entier ?

En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

2°  Construire la courbe $C_0$ représentant la fonction $f_0$.

Démontrer que la courbe $C_0$ a un centre de symétrie $A$. On notera que $f_0(x)$ peut s'écrire sous la forme :

$f_0(x)=1+\frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer la tangente en $A$ à la courbe.

3°  Soit $M$ le point de $C_0$ représentant le maximum de la fonction $f_0$.

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc $\stackrel{⌢}{AM}$ de $C_0$ et sa corde.

Exercice 22-7

1°  Déterminer toutes les racines du polynôme $2x^3+x^2-3$, en remarquant qu'il s'annule pour $x=1$.

2°  Étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{x^3+x^2+3}{x}$

et en construire la courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal.

3°  Préciser la position de la courbe $C$ par rapport à la parabole $P$ d'équation $y=x^2+x$.

4°  Calculer, en fonction de $a(a>1)$, l'aire de la région limitée par la courbe $C$, la parabole $P$, la droite $x=1$ et la droite $x=a$.

5°  Déterminer $a$, à $0,01$ près, pour que cette aire soit égale à $1$. Modèle:Solution

Exercice 22-8

Quelle est l'aire de la surface comprise entre les courbes d'équations $y=x^2$ et $y=2-x$ pour $-3\le x\le 2$ ? Modèle:Solution