Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 2

Exercice 21-1

Évaluer l’aire du sous-ensemble plan délimité par les courbes d'équations :

$y=-\frac{1}{x^2},y=\frac{1}{x},y=x,y=-x,x=4$.

Exercice 21-2

Évaluer l’aire du sous-ensemble plan délimité par les courbes d'équations :

$y=\tan x,y=\cos x,x=-\frac{\pi }{4},x=0$.

Exercice 21-3

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}-2\sqrt{2}$.

1°  Étudier $f$ et en faire une représentation graphique $\mathrm{\Gamma }$.

2°  Calculer l’aire du sous-ensemble plan délimité par $\mathrm{\Gamma }$ et l’axe des abscisses du repère. Modèle:Solution

Exercice 21-4

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\frac{8x}{(x^2-4{)}^2}$.

1°  Étudier $f$ et en faire une représentation graphique $\mathrm{\Gamma }$.

2°  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\setminus \{-2,2\}f(x)=\frac{a}{(x-2{)}^2}+\frac{b}{(x+2{)}^2}$.

3°  Calculer l’aire du sous-ensemble du plan compris entre l'axe des abscisses du repère, la courbe $\mathrm{\Gamma }$ et les droites d'équations respectives :

$x=-1$ et $x=\frac{3}{2}$.

Exercice 21-5

1°  Construire dans un repère le graphique $\mathrm{\Gamma }$ de la fonction $f$ définie par :

$x\in [0,1]$ et $f(x)=x-x^3$.

2°  Déterminer $a$ pour que, dans le demi-plan $x>0$, la droite d'équation $y=ax$ partage le sous-ensemble délimité par $\mathrm{\Gamma }$ et l'axe des abscisses du repère en deux sous-ensembles d'aires égales. Modèle:Solution

Exercice 21-6

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\frac{x}{2}+p+\frac{q}{x^2}$.

1°  Calculer $p$ et $q$ pour que $f(-1)=0$ et pour que $f$ admette un minimum pour $x=2$. Tracer le graphique $\mathrm{\Gamma }$ de $f$ dans un repère. Déterminer son asymptote oblique $\mathrm{\Delta }$.

2°  Calculer l’aire du sous-ensemble plan compris entre $\mathrm{\Gamma }$, $\mathrm{\Delta }$ et les droites d'équations respectives $x=3$ et $x=X$. Cette aire a-t-elle une limite lorsque $X$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ? Modèle:Solution

Exercice 21-7

Calculer l'aire de

$D=\{(x,y)\in [0,1]\times {ℝ}_{+}\mid x^2+y^2\ge 1,y\le 1+x^2\}$.

Exercice 21-8

Calculer les aires de :

• $D_1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid -1\le x\le 1,x^2\le y\le 4-x^3\}$ ;
• $D_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ge 0,x-y+1\ge 0,y\le -x^2+2x+1\}$.