Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?

— Ⅰ —

Dans toute cette partie, $x$ désigne un nombre réel.

Pour tout entier naturel $n$, on considère l'intégrale

$I_n(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$.

1°  Calculer $I_0(x)$.

2°  En utilisant la formule d'intégration par parties, démontrer que :

$I_n(x)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+I_{n+1}(x)$.

3°  Démontrer par récurrence sur $n$ la formule :

${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+I_n(x)$.

— Ⅱ —

On pose :

$P_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$ ;

$Q_n=n![a{P}_n(1)+b+c{P}_n(-1)]$ ;

$I_n=n!I_n(1)\text{et}{J}_n=(-1{)}^{n+1}n!I_n(-1)$.

1°  Pour $(a,b,c)\in {\mathbb{Z}}^3$, on considère $H=a\mathrm{e}+b+c{\mathrm{e}}^{-1}$.

a)  Démontrer que :

$n!H=Q_n+a{I}_n+(-1{)}^{n+1}c{J}_n$.

b)  Démontrer que :

$0⩽I_n⩽\frac{\mathrm{e}}{n+1}\text{et}0⩽J_n⩽\frac{1}{n+1}$.

En déduire la limite de $a{I}_n+(-1{)}^{n+1}c{J}_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

c)  Démontrer que le réel $Q_n-[a+(-1{)}^{n}c]$ est le produit de $n$ par un entier.

2°  En déduire que si $(a,c)\ne (0,0)$, alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $\left|Q_n\right|\ge 1$.

3°  a) Déduire des questions précédentes que $H$ ne peut être nul que si $a=b=c=0$.

b)  Démontrer que $\mathrm{e}$ ne peut pas être solution d'une équation de degré 1 ou 2 à coefficients dans $\mathbb{Q}$.

c)  Le nombre $\mathrm{e}$ est-il rationnel ?