Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 2

— Ⅰ —

Soit $f$ une fonction continue de ${ℝ}_{+}^{*}$ dans $ℝ$. On lui associe la fonction $F$ définie sur ${ℝ}_{+}^{*}$ par

$F(x)=\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t$.

1°  Montrer que $F$ est dérivable et que (pour tout $x>0$) :

$F^{\prime }(x)=\frac{f(3x)-f(x)}{x}$.

2°  Calculer $F$ dans les deux cas particuliers suivants :

a)  $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ ;

b)  $f:t\mapsto 1$.

— Ⅱ —

Dans cette partie et la suivante, on étudie $F$ dans le cas où $f$ est l'application $\cos$.

Le but est de dégager dans ce cas quelques propriétés de la fonction $F$, que l'on ne cherchera pas à calculer.

1°  Démontrer que $F$ est dérivable et que (pour tout $x>0$) :

$F^{\prime }(x)=\frac{-4\cos x{\sin }^{2}x}{x}$.

2°  Déterminer les réels pour lesquels la fonction $F$ présente un extremum local.

Déterminer les intervalles sur lesquels $F$ est :

a)  croissante ;

b)  décroissante.

3°  Déterminer le signe de $F\left(\frac{\pi }{6}\right)$ et le signe de $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$. En déduire que $F$ admet un zéro sur l'intervalle $[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}]$.

4°  À l'aide d'une intégration par parties, établir que (pour tout $x>0$) :

$|F(x)-\frac{\sin 3x-3\sin x}{3x}|⩽\frac{2}{3x},\text{puis}|F(x)|⩽\frac{2}{x}$

et en déduire la limite de $F$ en $+\mathrm{\infty }$.

5°  Montrer que $\left|F\right|⩽\ln 3$.

— Ⅲ —

Soit $G:{ℝ}_{+}\to ℝ$ la fonction définie par :

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}G(x)=F(x)\\ G(0)=\ln 3.\end{array}$

1°  Démontrer que (pour tout $x>0$) :

$\ln 3-F(x)=2\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{{\sin }^2\frac{t}{2}}{t}\mathrm{d}t,\text{puis}0⩽\ln 3-F(x)⩽2x^2$.

2°  En déduire que $G$ est dérivable en $0$.