Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 1

On rappelle que si $f$ et $g$ sont des fonctions numériques continues sur un intervalle fermé borné $[a,b]$, avec $a<b$, telles que $f(t)⩽g(t)$, pour tout $t$ de $[a,b]$, alors :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$.

On note $ℝ$ l'ensemble des nombres réels et ${ℝ}_{+}$ l'ensemble des nombres réels positifs. Modèle:Clr

— Ⅰ —

1°  On considère la fonction de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ dans $ℝ$ définie par $x\mapsto \tan x$. Démontrer que c'est une bijection de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ sur $ℝ$.

Dans toute la suite du problème, on désignera par $\phi$ la fonction réciproque de cette bijection. Préciser le domaine de définition de $\phi$, ainsi que les nombres $\phi (0)$, $\phi (1)$, $\phi \left(\sqrt{3}\right)$ et $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)$.

Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ dans $ℝ$ définie par $x\mapsto \tan x$ ; en déduire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction $\phi$.

2°  En admettant que $\phi$ est dérivable (voir Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan, niveau 14), retrouver que ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ pour tout réel $x$.

Calculer ${\phi }^{\prime }(0)$ et en déduire la valeur de $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\phi (x)}{x}$.

Démontrer alors que la fonction qui, à tout réel $x$, associe $\frac{\phi (x)}{x}$ si $x\ne 0$ et $1$ si $x=0$, est continue en $0$.

Démontrer ensuite qu'elle est continue sur tout $ℝ$.

3°  En étudiant les variations sur ${ℝ}_{+}$ des deux fonctions $x\mapsto x-\phi (x)$ et $x\mapsto x-\frac{x^3}{3}-\phi (x)$, démontrer que :

$0<x-\phi (x)<\frac{x^3}{3}$, pour tout $x>0$.

— Ⅱ —

Dans toute la suite du problème, on considère la fonction $f$, de ${ℝ}_{+}$ dans $ℝ$, définie par :

$f(x)=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\phi (t)}{t}\mathrm{d}t$ si $x>0$, et $f(0)=1$.

(On ne cherchera pas à calculer l'intégrale qui définit $f$.)

1°  Démontrer que :

$1-f(x)=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t-\phi (t)}{t}\mathrm{d}t$, si $x>0$.

2°  En utilisant Ⅰ - 3° et Ⅱ - 1°, démontrer que (pour tout $x\in {ℝ}_{+}$)

$0⩽1-f(x)⩽\frac{x^2}{9}$.

En déduire que $f$ est dérivable en $0$ (à droite) et que $f^{\prime }(0)=0$.

3°  Démontrer que si $x⩾1$ :

$0⩽\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\phi (t)}{t}\mathrm{d}t⩽\frac{\pi }{2}\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{\pi }{2}\ln x$.

En écrivant $f(x)=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\phi (t)}{t}\mathrm{d}t+\frac{1}{x}\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\phi (t)}{t}\mathrm{d}t$, en déduire que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$.

— Ⅲ —

1°  Vérifier que (pour tout $x\in {ℝ}_{+}$)

$x^2{f}^{\prime }(x)=-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\phi (t)}{t}\mathrm{d}t+\phi (x)$.

2°  On pose $g(x)=x^2{f}^{\prime }(x)$, pour tout $x>0$. Vérifier que :

$x{g}^{\prime }(x)=-\phi (x)+\frac{x}{1+x^2}$.

3°  Étudier la variation de la fonction $h$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=x{g}^{\prime }(x)$. En déduire le signe de $g^{\prime }(x)$, puis de $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.

4°  Rassembler les résultats des parties Ⅱ et Ⅲ pour donner l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.