Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Modèle:Devoir Soient :

• $𝔈$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,\pi ]$ dans $ℝ$ ;
• $𝔉$ l'ensemble des fonctions de ${ℝ}_{+}^{*}=]0,+\mathrm{\infty }[$ dans $ℝ$.

— Ⅰ —

Soit $I\in 𝔉$ définie par $I(x)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{e}}^{-tx}\mathrm{d}t$.

1°  Calculer $I(x)$ (pour tout réel $x>0$).

2°  a)  Soit $g\in 𝔉$ définie par $g(x)={\mathrm{e}}^{\pi x}-1-\pi x$ (pour tout réel $x>0$).

Étudier le sens de variation de $g$ ; en déduire que $g>0$.

b)  Étudier la variation de la fonction $I$ (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).

— Ⅱ —

1°  Soit $L:𝔈\to 𝔉$ l'application qui, à tout élément $f$ de $𝔈$, associe la fonction $F$ définie par :

$F(x)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-tx}\mathrm{d}t$ (pour tout $x>0$).

Démontrer que l'application $L$ est linéaire.

2°  Pour toute fonction $f\in 𝔈$ dérivable et de dérivée continue, on pose :

$L(f)=F$ et $L(f^{\prime })=F^{*}$.

Démontrer que (pour tout $x>0$) :

$F^{*}(x)={\mathrm{e}}^{-\pi x}f(x)-f(0)+xF(x)$.

— Ⅲ —

Soient $f_1,f_2,f_3\in 𝔈$ définies par :

$f_1(t)=1f_2(t)=\cos 2t{f}_3(t)=\sin 2t$.

Soit ${𝔈}_1$ l'ensemble des fonctions :

$a{f}_1+b{f}_2+c{f}_3$

pour tout triplet $(a,b,c)$ de nombres réels.

1°  a)  Déterminer les fonctions :

$F_1=L(f_1),F_2=L(f_2),F_3=L(f_3)$.

b)  Soit $f$ un élément de ${𝔈}_1$. Calculer $F(x)$ (pour tout $x>0$).

c)  Démontrer que la restriction de $L$ à ${𝔈}_1$ est injective.

2°  a)  Soit $f$ un élément de $𝔈$. Justifier le fait que $f([0,\pi ])$ est un intervalle fermé $[m,M]$, avec $m⩽M$.

b)  Démontrer que $mI⩽F⩽MI$.

c)  En déduire que pour tout $x>0$, il existe au moins un réel $t\in [0,\pi ]$ tel que $F(x)=f(t)I(x)$.

Calculer $t$ dans le cas particulier :

$f=f_1+f_2+f_3$ et $x=2$.