Intégration de Riemann/Calcul numérique d'une intégrale

Modèle:Chapitre Modèle:Wikipédia Nous ne traiterons ici que des trois méthodes d'approximation les plus simples : rectangles, points médians et trapèzes. Dans ces trois méthodes, on subdivise l'intervalle d'intégration $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles $[x_i,x_{i+1}]$ ($i=0,1,\dots ,n-1$), avec $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$. On approxime l'intégrale de la fonction sur chacun de ces sous-intervalles, puis on fait la somme.

Méthode des rectangles

On remplace l'arc de courbe par un segment horizontal situé à la hauteur de l'extrémité gauche de cet arc (on a bien sûr une méthode analogue en prenant l'extrémité droite).

Valeur approchée

On choisit ainsi d'approximer $I_i:=\underset{x_i}{\overset{x_{i+1}}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ par $I_i^{\text{rect}}:=\frac{b-a}{n}f(x_i)$ donc

$I:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\approx I^{\text{rect}}:=\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)$.

Estimation de l'erreur

Si $f$ est CModèle:Exp alors $I_i-I_i^{\text{rect}}=\frac{(b-a{)}^2}{2n^2}{f}^{\prime }(c_i)$ pour un certain $c_i\in [x_i,x_{i+1}]$ donc

$I-I^{\text{rect}}=\frac{(b-a{)}^2}{2n}{f}^{\prime }(c)$ pour un certain $c\in [a,b]$.

Méthode des points médians

Le point du graphe par lequel on fait passer un segment horizontal (qui approxime l'arc de courbe) n'a plus cette fois pour abscisse $x_i$ ou $x_{i+1}$ comme dans la méthode des rectangles (à gauche ou à droite) mais la moyenne (arithmétique) des deux.

Valeur approchée

$I_i\approx I_i^{\text{med}}:=\frac{b-a}{n}f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)$ donc

$I\approx I^{\text{med}}:=\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)$.

Estimation de l'erreur

Si $f$ est CModèle:Exp alors $I_i-I_i^{\text{med}}=\frac{(b-a{)}^3}{24n^3}{f}^{″}(c_i)$ pour un certain $c_i\in [x_i,x_{i+1}]$ donc

$I-I^{\text{med}}=\frac{(b-a{)}^3}{24n^2}{f}^{″}(c)$ pour un certain $c\in [a,b]$.

Méthode des trapèzes

On n'approxime plus l'arc de courbe par un segment horizontal comme dans la méthode des rectangles ou celle des points médians, mais par la corde de cet arc.

Valeur approchée

$I_i\approx I_i^{\text{trap}}:=\frac{b-a}{n}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}$ donc

$I\approx I^{\text{trap}}:=\frac{b-a}{n}(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i))$.

Estimation de l'erreur

Si $f$ est CModèle:Exp alors $I_i-I_i^{\text{trap}}=-\frac{(b-a{)}^3}{12n^3}{f}^{″}(c_i)$ pour un certain $c_i\in [x_i,x_{i+1}]$ donc

$I-I^{\text{trap}}=-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{″}(c)$ pour un certain $c\in [a,b]$.

Lien externe

Approximation des intégrales (PCSI2, Lycée Corneille, 2010-2011) Modèle:Bas de page