Intégrales en physique/Découpages classiques

Intégration sur un disque

Du fait de la symétrie du disque, les coordonnées polaires sont les plus adaptées. On considère une grandeur f(r,θ) dont on veut calculer l'influence F sur la totalité de la surface Σ du disque.

Secteur angulaire

La surface élémentaire d'ordre 2 d²S la plus simple à exprimer est celle située en un point de coordonnées (r,θ) :

• qui s'étend radialement sur une longueur dr
• qui balaie un angle dθ

Si, du fait des très petites dimensions de la surface, on peut assimiler d²S à un rectangle de dimensions dr et r dθ, on obtient ${\mathrm{d}}^{2}S=\mathrm{d}rr\mathrm{d}\theta$.

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les surfaces élémentaires :

$\begin{array}{cc}\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{\mathrm{d}}^{2}S& =\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}r\mathrm{d}r\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta \\ & ={\left[\frac{r^2}{2}\right]}_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\ & =\pi R^2={𝒜}_{\mathrm{\Sigma }}\end{array}$

F vaut alors $F=\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}f(r,\theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

Couronne élémentaire

Si de plus, f ne dépend pas de θ : $F=\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta \underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}f(r)r\mathrm{d}r=2\pi \underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}f(r)r\mathrm{d}r$

Cela revient à choisir une surface élémentaire en forme de couronne située à une distance r du centre, de largeur infinitésimale dr.

Si on « coupe » cette couronne et qu'on la « déroule » par la pensée, on peut supposer que son aire est assimilable à celle d'un rectangle de longueur 2πr (la circonférence d'un cercle de rayon r) et de largeur dr.

On obtient alors une couronne infinitésimale d'ordre 1 d'aire $\mathrm{d}S=2\pi r\mathrm{d}r$.

On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les couronnes élémentaires :

$\begin{array}{cc}\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}\mathrm{d}S& =\underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}2\pi r\mathrm{d}r\\ & ={\left[\frac{r^2}{2}\right]}_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\ & =\pi R^2={𝒜}_{\mathrm{\Sigma }}\end{array}$

F vaut alors $F=2\pi \underset{r=0}{\overset{r=R}{\int }}rf(r)\mathrm{d}r$

Intégration dans le cas d'un cylindre

• 
  $\mathrm{d}S=2\pi R\mathrm{d}z$
• 
  $\mathrm{d}V=2\pi rh\mathrm{d}r$

Intégration sur une sphère

Élément infinitésimal d'ordre 2

${\mathrm{d}}^{2}S=R^2\sin (\phi )\mathrm{d}\mathrm{\theta }\mathrm{d}\mathrm{\phi }$

Intégration sur des couronnes

$\mathrm{d}S=2\pi R^2\sin (\theta )\mathrm{d}\theta$

Intégration sur une boule

• $\mathrm{d}V=4\pi r^2\mathrm{d}r$

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