Initiation aux matrices/Inverse d'une matrice

Modèle:Chapitre Après avoir défini une multiplication des matrices et après avoir constaté que, dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, nous avons un élément neutre que nous avons noté $I_n$, la question qui se pose maintenant est de savoir si les matrices sont inversibles. C'est cette question que nous allons étudier dans ce chapitre.

Étude d'un exemple

Soit la matrice :

$P=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$

Existe-t-il une matrice, que nous noterons $P^{-1}$, qui vérifie la relation :

$P\times P^{-1}=P^{-1}\times P=I_2$

Pour répondre à cette question, nous pouvons revenir aux systèmes d'équations linéaires en imaginant qu'il existe deux valeurs $y_1$ et $y_2$ qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs $x_1$ et $x_2$ selon la relation matricielle :

$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Nous allons essayer d'inverser la situation en établissant une relation matricielle où c'est $x_1$ et $x_2$ qui s'exprime en fonction de $y_1$ et $y_2$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

$\{\begin{array}{c}2x_1+5x_2=y_1\\ x_1+3x_2=y_2\end{array}$

par combinaisons linéaires, en remplaçant la deuxième équation par ce que l'on obtient en soustrayant membre à membre 2 fois la deuxième équation à la première, nous obtenons :

$\{\begin{array}{c}2x_1+5x_2=y_1\\ -x_2=y_1-2y_2\end{array}$

et en ajoutant 5 fois, membre à membre, la deuxième équation à la première, on obtient :

$\{\begin{array}{c}2x_1=6y_1-10y_2\\ -x_2=y_1-2y_2\end{array}$

qui se simplifie sous la forme :

$\{\begin{array}{c}{x}_1=3y_1-5y_2\\ x_2=-y_1+2y_2\end{array}$

ce dernier système s'écrit matriciellement :

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

Nous avons alors :

$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

et

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Comme nous avons aussi :

$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

et

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

nous en déduisons par identification :

$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Nous pouvons vérifier cette relation par le calcul.

Nous voyons donc que si $P$ est définie par :

$P=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$

alors :

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)$

Nous voyons que nous pouvons faire des calculs avec des matrices comme s'il s'agissait de nombre.

Propriétés

Définition et unicité

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre n. La matrice $A$ sera dite inversible s'il existe une matrice carrée $B$ d'ordre n telle que :

$A\times B=B\times A=I_n$

S'il existe une matrice $B$ vérifiant cette propriété alors il n'en existe pas d'autres.

En effet supposons qu'il existe une autre matrice carrée $C$ d'ordre n vérifiant :

$A\times C=C\times A=I_n$

on aurait :

$C=C\times I_n=C\times (A\times B)=(C\times A)\times B=I_n\times B=B$

Matrices non inversibles

Il existe des matrices qui ne sont pas inversibles.

Par exemple, considérons la matrice :

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

et essayons de trouver une matrice sous la forme :

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

vérifiant :

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

l'exécution du produit matriciel du premier membre nous amènerait à la relation :

$\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

qui n'est pas possible.

La matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ est donc un exemple de matrice non inversible.

Produit de matrices inversibles

Soit deux matrices inversibles $A$ et $B$, d'inverses respectives $A^{-1}$ et $B^{-1}$, alors la matrice $P=A\times B$ est inversible et son inverse est :

$P^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}$.

On a en effet :

$P\times (B^{-1}\times A^{-1})=(A\times B)\times (B^{-1}\times A^{-1})=A\times (B\times B^{-1})\times A^{-1}=A\times I_n\times A^{-1}=A\times A^{-1}=I_n$

et de même :

$(B^{-1}\times A^{-1})\times P=(B^{-1}\times A^{-1})\times (A\times B)=B^{-1}\times (A^{-1}\times A)\times B=B^{-1}\times I_n\times B=B^{-1}\times B=I_n$.

Matrices diagonalisables

Une matrice $M$ sera dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ tel que :

$M=P\times D\times P^{-1}$

Une matrice $M$ étant donnée, il existe des techniques permettant de savoir si la matrice est diagonalisable et permettant de calculer la matrice inversible $P$ et la matrice diagonale $D$. Mais ces techniques dépassent le cadre de cette leçon élémentaire et seront abordées dans des leçons de niveau supérieur (voir par exemple Réduction des endomorphismes). Dans le cadre de cette leçon, les matrices $P$ et $D$ devront être données.

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