Initiation aux matrices/Exercices/Puissance d'une matrice

Exercice 3-1

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $m$ telle que

$A^2=A$.

On pose

$B={\mathrm{I}}_m-A\text{et}C=2{\mathrm{I}}_m-A$.

Montrer par récurrence que

$C^n=A+2^{n}B$.

Exercice 3-2

Soit deux matrices $M$ et $P$ définies par :

$M=\left(\begin{array}{cc}9& -4\\ 12& -5\end{array}\right)P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$

Calculer successivement :

1°  $P^{-1}$

2°  $P^{-1}\times M\times P$

3°  $M^n$

Exercice 3-3

Soit $M$ une matrice à coefficients complexes définie par :

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& i\\ i& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$

1°  Montrer que :

$M^{1001}=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ 0& 0& -1\\ -i& 0& 0\end{array}\right)$

2°  Sans utiliser de système d'équations, calculer l'inverse $M^{-1}$ de $M$.

Exercice 3-4

Soit $N$ une matrice nilpotente.

1°  Montrer que si $N$ est non nulle alors elle n'est pas diagonalisable.

2°  Montrer que $N$ n'est pas inversible.