Initiation aux matrices/Exercices/Inverse d'une matrice

Exercice 2-1

Soit $M$, la matrice définie par :

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& 2& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$

Calculer la matrice inverse $M^{-1}$ de $M$.

Exercice 2-2

Soit $M$, la matrice définie par :

$M=\left(\begin{array}{ccc}-4& -2& 7\\ -4& -3& 8\\ -3& -2& 6\end{array}\right)$

1°  Calculer l'expression matricielle :

$M^3+M^2-M$

2°  En déduire l'inverse $M^{-1}$ de $M$.

Exercice 2-3

Un réseau d'utilisateurs qui communiquent à distance utilise à cet effet un émetteur-récepteur utilisant un système de cryptage basé sur une matrice $M$ pouvant être rentrée manuellement dans l'appareil.

Tous les utilisateurs conviennent de rentrer la matrice $M$ définie par :

$M=\left(\begin{array}{ccccc}-9& 2& -4& 2& -10\\ -4& 1& 0& 2& -2\\ -10& 2& -3& 2& -10\\ -6& 2& -4& 1& -8\\ 10& -2& 4& -2& 11\end{array}\right)$

Seuls les membres du réseau connaissent la matrice $M$.

Les utilisateurs s'envoient mutuellement des séries de cinq nombres sous forme de matrices ligne.

En émission, l'appareil commence par multiplier, par la matrice $M$, la matrice ligne fournie par l'opérateur et émet le résultat.

En réception, il fait de même. Il commence par multiplier par $M$ la matrice reçue, avant de fournir le résultat à l'opérateur.

Bob et Alice font partie du réseau. Bob décide d'envoyer la série de cinq nombres $\left(\begin{array}{ccccc}1& 3& -2& 5& 7\end{array}\right)$ à Alice. La communication est espionnée par Ève qui ne fait pas partie du réseau.

1°  Que perçoit Ève ?

2°  Que reçoit Alice ?

3°  Que constate-t-on ? Cette constatation est-elle générale ?

4°  Quel est l'inverse de la matrice $M$ ?

5°  Pour plus de sûreté, les membres du réseau décident de changer régulièrement la matrice $M$. Est-il facile de trouver d'autres matrices carrées d'ordre 5 ayant la même propriété que la matrice $M$ ?

Exercice 2-4

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ telle que $A^2=A$.

1. Montrer que si $A\ne {\mathrm{I}}_n$ alors $A$ n'est pas inversible.
2. Montrer que si $A\ne 0_n$ alors ${\mathrm{I}}_n-A$ n'est pas inversible.