Initiation au calcul intégral/Primitives d’une fonction

Définition

La dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle. Autrement dit, les constantes additives disparaissent à la dérivation. En conséquence, une fonction qui a au moins une primitive en a toujours une infinité (pour cette raison, on dit « une primitive » et non « la primitive »). Modèle:Exemple

Exemples

Quelques primitives de fonctions très usuelles

$f:x\mapsto 2xF(x)=\dots$ Modèle:Solution

$f:x\mapsto 1F(x)=\dots$ Modèle:Solution

$f:x\mapsto 0F(x)=\dots$ Modèle:Solution

$f:x\mapsto -5F(x)=\dots$ Modèle:Solution

$f:x\mapsto 3x^{2}F(x)=\dots$ Modèle:Solution

Une méthode élémentaire

On utilise souvent pour les primitives simples la propriété suivante : Une constante multiplicative est « transparente » à la dérivation :

$(k.u{)}^{\prime }=k.u^{\prime }$

Existence et non-unicité

Toutes les primitives d’une fonction donnée ne diffèrent que d’une constante additive :

On verra au chapitre suivant que toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive (donc une infinité).

Unicité en fixant une valeur

Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.