Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitive prenant une valeur donnée en un point

Rappel

On se place sur un intervalle I. Si la fonction F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où k est un nombre réel quelconque.

Problématique

On désire trouver la primitive F telle que F(a)=b en fixant correctement la constante k.

Exemple 1

Soit $f:x\mapsto x^2$définie sur $ℝ$.

On demande de trouver la primitive F de f sur R telle que F(2)=3.

a. Une primitive G de f est : G(x) = ... Modèle:Solution

b. $G(2)=\dots$ Modèle:Solution

c. Soit F(x)=G(x)+ k. Alors $F(2)=\dots$ Modèle:Solution

d. Or F(2)=3. On a donc l’équation : ...=...

Donc k =...

Modèle:Solution e. Finalement F(x)=... Modèle:Solution f. Vérification : F(2)=...

En pratique, on n’utilise pas la fonction intermédiaire G.

Exemple 2

Soit $f:x\mapsto x^3$ définie sur $ℝ$.

On demande de trouver la primitive F de f sur $ℝ$ telle que F(-2)=5.

a. F s’écrit F(x)=...+k

b. On a donc l’équation F(-2)=...+k=...

c. Donc k=... et F(x)=...

Exercices

1. Soit $f:x\mapsto (2x-3{)}^3$ définie sur $ℝ$.

On demande de trouver la primitive F de f sur $ℝ$ telle que F(2)=-4. Modèle:Solution

2. Soit $f:x\mapsto \frac{x}{(x^2-1{)}^2}$ définie sur $]1;+\mathrm{\infty }[$.

On demande de trouver la primitive F de f sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ telle que F(2)=-4. Modèle:Solution

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