Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes

Calcul d'incertitudes absolues

Cas général

Supposons que l’on mesure des grandeurs indépendantes $x_1,...,x_n$ avec les incertitudes respectives $\mathrm{\Delta }{x}_1,...,\mathrm{\Delta }{x}_n$. On veut alors en déduire l'incertitude d’une grandeur $f$ dépendant des variables $x_i$. D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}d{x}_n$

On peut alors calculer un majorant de df : $|df|\le \left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right||d{x}_1|+...+\left|\frac{\partial f}{\partial x_n}\right||d{x}_n|$

Puis en notant les incertitudes $\mathrm{\Delta }x=|dx|$ pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

$\mathrm{\Delta }f=\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|\mathrm{\Delta }{x}_1+...+\left|\frac{\partial f}{\partial x_n}\right|\mathrm{\Delta }{x}_n$

Exemple concret

On prend par exemple la mesure d’une résistance électrique R. Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité I passant dans le circuit à l'aide d’un ampèremètre et la tension U aux bornes de la résistance à l'aide d’un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées $\mathrm{\Delta }I$ et $\mathrm{\Delta }U$. On obtient les valeurs suivantes : $I=0,10mA$,   $U=1,50V$,   $\mathrm{\Delta }U=0,01V$   et   $\mathrm{\Delta }I=0,01mA$.

Tout d’abord on calcule la valeur moyenne de R sachant que $R=U/I$ ; cela donne $\frac{1,50}{0,1\times 10^{-3}}=15k\mathrm{\Omega }$. Il faut ensuite calculer l'incertitude $\mathrm{\Delta }R$.

Pour cela, on doit calculer les dérivées partielles de R par rapport à U et I :

$\frac{\partial R}{\partial U}=\frac{\partial (U/I)}{\partial U}=\frac{1}{I}$ et $\frac{\partial R}{\partial I}=\frac{\partial (U/I)}{\partial I}=-\frac{U}{I^2}$

On a alors en n'oubliant pas la conversion mA => A :

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }R& =& \frac{\partial R}{\partial U}\mathrm{\Delta }U+|\frac{\partial R}{\partial I}|\mathrm{\Delta }I\\ & =& \frac{1}{I}\mathrm{\Delta }U+\frac{U}{I^2}\mathrm{\Delta }I\\ & =& 100\mathrm{\Omega }+1500\mathrm{\Omega }\\ & =& 1600\mathrm{\Omega }\end{array}$

Finalement, la mesure que l’on a effectué nous donne : $R=15000\pm 1600\mathrm{\Omega }$

Calcul d'incertitudes relatives

Dans le cas général, il n’est pas pratique de calculer directement des incertitudes absolues. Mais si la fonction f s'exprime sous forme d’un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :

$f(x,y,z)=x^a{y}^b{z}^c$

où a, b et c sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation : $\ln f(x,y,z)=a\ln x+b\ln y+c\ln z$

Puis on prend la différentielle de cette équation :

$\frac{df}{f}=a\frac{dx}{x}+b\frac{dy}{y}+c\frac{dz}{z}$

D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :

$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\left|f\right|}=\left|a\right|\frac{\mathrm{\Delta }x}{\left|x\right|}+\left|b\right|\frac{\mathrm{\Delta }y}{\left|y\right|}+\left|c\right|\frac{\mathrm{\Delta }z}{\left|z\right|}$.

Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relatives.

Voir aussi

• Une autre approche des calculs d'incertitudes