Implication et équivalence/Exercices/Quelques chausse-trappes

Exercice 1-1

Soit à résoudre l'équation $x^2+x+1=0$ (E).

Expliquer pourquoi le raisonnement suivant est incorrect :

(E) équivaut à $x^2=-(x+1)$ (1)

(E) équivaut aussi à $x\ne 0\text{et}x+1+\frac{1}{x}=0$ donc à

$x\ne 0\text{et}\frac{1}{x}=-(x+1)$ (2).

Avec (1) et (2) on déduit :

$x\ne 0\text{et}\frac{1}{x}=x^2$,

qui équivaut à

$x^3=1$ (3)

donc à $x=1$.

Finalement, $S=\{1\}$.

Or on vérifie facilement que $x=1$ n’est pas solution de (E).

Que s'est-il passé ?