Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines

Exercice 1-1

On note $M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc}1+2a-b& 0\\ 2-a-b& a-b\end{array}\right)$ et $ℱ=\{M_{a,b}\mid (a,b)\in k^2\}$. Montrer que $ℱ$ est un sous-espace affine de ${\mathrm{M}}_2(k)$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

Soient $A$ un ensemble non vide, $a$ un élément de $A$, et $b$ un scalaire. Montrer que l'ensemble $ℱ:=\{f:A\to k\mid f(a)=b\}$ est un sous-espace affine de l'espace affine $ℰ=k^A$ des fonctions de $A$ dans $k$. Modèle:Solution Montrer que l'ensemble $𝒢:=\{f:ℝ\to ℝ\mid \mathrm{\forall }x\in ℝf(x+1)=f(x)+1\}$ est un sous-espace affine de ${ℝ}^{ℝ}$. En déterminer un point et la direction. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $ℰ$ un espace affine réel de dimension $3$, muni d’un repère cartésien $(O,u,v,w)$. Soient :

• les points $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right),C\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ ;
• les droites $d_1\{\begin{array}{cc}x& =3-\lambda \\ y& =1+2\lambda \\ z& =-1+\lambda \end{array},\lambda \in ℝ,d_2\{\begin{array}{cc}x& =1+3\mu \\ y& =-2\mu \\ z& =3+5\mu \end{array},\mu \in ℝ$ ;
• les plans $(P_1)\{\begin{array}{cc}x& =1-2\lambda +3\mu \\ y& =-2+\lambda +\mu \\ z& =4-\lambda -2\mu \end{array},\lambda ,\mu \in ℝ,(P_2)2x-y+3z-1=0,(P_3)x+2z-4=0$.

1. Donner une équation cartésienne de $(P_1)$.
2. Déterminer une représentation paramétrique de $(P_2)\cap (P_3)$.
3. Donner une équation cartésienne du plan contenant $A$, $B$ et $C$.
4. Déterminer l'intersection $d_1\cap P_2$.
5. Donner une équation cartésienne du plan contenant $d_1$ et parallèle à $d_2$.
6. Déterminer $P_1\cap P_2\cap P_3$.
7. Déterminer l'intersection de $P_2$ avec la droite $(AB)$.
8. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A$, parallèle à $P_2$ et coupant $d_1$.
9. Donner une équation cartésienne du plan passant par $C$ et contenant $d_1$.

Exercice 1-4

1. Montrer que dans $k^2$, deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point.
2. Que se passe-t-il dans $k^3$ ?

Exercice 1-5

Modèle:Wikipédia Un parallélogramme est un quadrilatère $(A,B,C,D)$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

1. $(A,B,C,D)$ est un parallélogramme ;
2. $(A,D,C,B)$ est un parallélogramme ;
3. les diagonales $[A,C]$ et $[B,D]$ se coupent en leurs milieux.

Exercice 1-6

Soient $ℰ$ un espace affine, $ℱ$ un sous-espace affine de $ℰ$, et $\mathscr{H}$ un hyperplan affine.

Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée :

• $\overrightarrow{F}\subset \overrightarrow{H}$ ;
• $ℱ\mathcal{\cap }\mathscr{H}$ est un sous-espace affine de dimension $\dim (ℱ)-1$.

Exercice 1-7

Soit $ℰ$ un espace affine de dimension $n$, d'espace vectoriel directeur $\overrightarrow{E}$.

1. Soit $\varphi$ une application affine non constante de $ℰ$ dans $ℝ$. Montrer que $\varphi$ est surjective. Montrer que ${\varphi }^{-1}(\{0\})$ est un hyperplan affine de $ℰ$. Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de $ℰ$ est de cette forme.
2. 1. Dans $\overrightarrow{E}$, montrer que pour $1\le d\le n$, tout sous-espace vectoriel de dimension $n-d$ est intersection de $d$ hyperplans vectoriels.
   2. En déduire que tout sous-espace affine de $ℰ$ de dimension $n-d$ est de la forme $\underset{i=1}{\overset{d}{\cap }}{\varphi }_i^{-1}(\{0\})$ pour $({\varphi }_i{)}_{i=1,\dots ,d}$ une famille d'applications affines $ℰ\to ℝ$, c'est-à-dire est intersection de $d$ hyperplans affines.
   3. Montrer que dans ce cas, l'application affine produit ${\times }_i{\varphi }_i:ℰ\to {ℝ}^d$ est surjective.
3. Réciproquement, montrer que si ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_d$ sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection $\bigcap _{i=1,\dots ,d}{\varphi }_i^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace affine de dimension $n-d$ (on pourra procéder par récurrence sur $d$, et utiliser l'exercice précédent).

Exercice 1-8

Soient $ℰ$ un espace affine de dimension $n$ et ${\mathscr{H}}_0,\dots ,{\mathscr{H}}_n$ $n+1$ hyperplans affines tels que l'intersection $\underset{i=0}{\overset{n}{\cap }}{\overrightarrow{H}}_i$ des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons ${\varphi }_i$ des fonctions affines telles que ${\varphi }_i^{-1}(\{0\})={\mathscr{H}}_i$.

1. Montrer que l'application linéaire produit $\underset{i=0}{\overset{n}{\times }}{\overrightarrow{\varphi }}_i:\overrightarrow{E}\to {ℝ}^{n+1}$ est injective. En déduire que la famille $(\overrightarrow{{\varphi }_i}{)}_{i=0,\dots ,n}$ engendre l'espace des formes linéaires sur $\overrightarrow{E}$ (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de $\mathrm{im}\left(\underset{i=0}{\overset{n}{\times }}{\overrightarrow{\varphi }}_i\right)$ dans ${ℝ}^{n+1}$ muni du produit scalaire canonique).
2. • Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille $(\overrightarrow{{\varphi }_i}{)}_{i=1,\dots ,n}$ est une base.
   • Montrer que l'intersection $\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}{\mathscr{H}}_i$ est réduite à un point $O$ (on pourra utiliser l'exercice précédent).
3. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
   1. $\underset{i=0}{\overset{n}{\cap }}{\mathscr{H}}_i\ne \varnothing$ ;
   2. la famille de fonctions affines $({\varphi }_i{)}_{i=0,\dots ,n}$ est liée ;
   3. pour tout repère affine $(A_0,\dots ,A_n)$, la matrice $\left(\begin{array}{ccc}{\varphi }_0(A_0)& \dots & {\varphi }_n(A_0)\\ ⋮& & ⋮\\ {\varphi }_0(A_n)& \dots & {\varphi }_n(A_n)\end{array}\right)$ n'est pas inversible.

Exercice 1-9

Soit $ℰ$ un espace affine de dimension $n$. Soit ${𝒟}_0,\dots ,{𝒟}_{n-1}$ des droites toutes parallèles ($\overrightarrow{u}$ un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :

1. pour $1\le d\le n$, tout $d$-uplet de ces droites engendre un sous-espace de $ℰ$ de dimension $d$ ;
2. le sous-espace affine engendré par ${𝒟}_0,\dots ,{𝒟}_{n-1}$ est $ℰ$ tout entier.
3. pour tout choix de $0\le k\le n-1$, pour toute donnée de points $A_i\in {𝒟}_i$ ($0\le i\le n-1$), en posant $A_n=A_k+\overrightarrow{u}$, $(A_0,\dots ,A_n)$ est un repère affine de $ℰ$.

Exercice 1-10

Soient $ℰ$ un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel $E$, $ℱ$ une partie de $ℰ$, et $F$ un s.e.v. de $E$.

a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :

i) $ℱ\ne \varnothing$ et $\mathrm{\forall }P\in ℱP+F=ℱ$ ;

ii) $ℱ$ est un sous-espace affine de $ℰ$ de direction $F$ (c'est-à-dire — rappel — $\mathrm{\exists }P\in ℱP+F=ℱ$) ;

iii) $\mathrm{\exists }P\in ℱF=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ ;

iv) $ℱ\ne \varnothing$ et $\mathrm{\forall }P\in ℱF=\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in ℱ\}$ ;

v) $F=\{\overrightarrow{PQ}\mid P,Q\in ℱ\}$.

b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée $ℱ$ de $ℰ$ est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de $ℰ$ est un sous-espace affine.

c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que $ℱ$ soit un sous-espace affine. Modèle:Solution