Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens

Exercice 5-1

On se place dans un plan affine euclidien. Soit $C$ un cercle, de centre $O$ et de rayon $R\ne 0$. On rappelle qu'une droite $D$ passant par un point $A$ de $C$ est tangente à $C$ si et seulement si $D$ est perpendiculaire à $(OA)$.

a) Soit $D$ une droite passant par un point $M$ du plan et coupant $C$ en un point $A$. Montrer que $D$ est tangente à $C$ si et seulement si le point $A$ est sur l'intersection de $C$ avec le cercle de diamètre $[O,M]$. En déduire le nombre de tangente(s) à $C$ passant par $M$, selon la position de $M$ par rapport à $C$.

b) Soient $k$ un réel non nul et $f$ une dilatation de rapport $k$ (c'est-à-dire une application affine telle que $\overrightarrow{f}=k\mathrm{i}\mathrm{d}$, autrement dit une homothétie si $k\ne 1$ ou une translation si $k=1$). Montrer que $f(C)$ est le cercle de centre $f(O)$ et de rayon $|k|R$.

c) Soit $C^{\prime }$ un cercle distinct de $C$, de centre $O^{\prime }$ et de rayon $R^{\prime }\ne 0$. Montrer qu'il existe exactement deux dilatations $f_{+}$ et $f_{-}$ (de rapports respectifs $R^{\prime }/R$ et $-R^{\prime }/R$) qui envoient $C$ sur $C^{\prime }$. Préciser leur centre (dans le cas d'une homothétie) ou vecteur (dans le cas d'une translation).

d) Soit $D$ une tangente à $C$. Montrer que $f_{+}(D)$ et $f_{-}(D)$ sont exactement les deux tangentes à $C^{\prime }$ parallèles à $D$. En déduire la condition sur $D$ (en termes de centre d'homothétie ou vecteur de translation vus précédemment) pour que $D$ soit tangente à $C^{\prime }$.

e) En déduire (suivant les positions respectives de $C,C^{\prime }$) le nombre de tangentes communes à ces deux cercles. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Modèle:Wikipédia On se place dans un plan affine euclidien $P$. Soient $C,C^{\prime },C^{″}$ trois cercles de centres $O,O^{\prime },O^{″}$ non alignés et de rayons $R,R^{\prime },R^{″}$ non nuls. La puissance par rapport à $C$ d'un point $M$ du plan est par définition $P_C(M)=O{M}^2-R^2$. L'axe radical de $C$ et $C^{\prime }$ est par définition l'ensemble $D_{C,C^{\prime }}$ des points $M$ tels que $P_C(M)=P_{C^{\prime }}(M)$ (on va démontrer dans a) et b) que c'est une droite).

a) En notant $M_t=tO+(1-t)O^{\prime }$ et en considérant l'application $ℝ\to ℝ,t\mapsto P_C(M_t)-P_{C^{\prime }}(M_t)$, montrer que $(O{O}^{\prime })\cap D_{C,C^{\prime }}$ est non vide.

b) Pour tout $H\in D_{C,C^{\prime }}$, montrer que $D_{C,C^{\prime }}$ est la perpendiculaire à $(O{O}^{\prime })$ passant par $H$.

c) Montrer que les trois droites $D_{C,C^{\prime }},D_{C^{\prime },C^{″}},D_{C^{″},C}$ sont concourantes.

d) On suppose désormais que $C,C^{\prime },C^{″}$ sont sécants deux à deux et l'on note $\mathrm{\Delta }$ la droite joignant les deux points de $C^{\prime }\cap C^{″}$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ celle joignant les deux points de $C^{″}\cap C$ et ${\mathrm{\Delta }}^{″}$ celle joignant les deux points de $C\cap C^{\prime }$. Déduire de c) que ces trois droites sont concourantes.

e) On veut redémontrer d) par une autre méthode. On plonge pour cela le plan $P$ dans un espace affine euclidien $E$ de dimension $3$, et l'on suppose par exemple $R\ge R^{\prime },R^{″}$. On choisit deux sphères de $E$ de rayon $R$ dont les intersections avec $P$ soient $C^{\prime },C^{″}$, on note $I,J$ leurs centres respectifs, et l'on note $\mathrm{\Pi },{\mathrm{\Pi }}^{\prime },{\mathrm{\Pi }}^{″}$ les plans médiateurs respectifs de $(I,J),(J,O),(O,I)$. Démontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent $P$ suivant les droites $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime },{\mathrm{\Delta }}^{″}$. Conclure. Modèle:Solution