Géométrie affine/Exercices/Barycentres

Exercice 3-1

Soit $G$ le barycentre de $(A,a),(B,b),(C,c)$. Montrer que $a\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+b\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+c\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=0$ si et seulement si $G$ est barycentre de $(A^{\prime },a),(B^{\prime },b),(C^{\prime },c)$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soient $A,B,C$ un triangle non aplati et $\alpha \beta \gamma$ le triangle obtenu en menant par chacun des sommets $A,B,C$ la parallèle à $BC,CA,AB$ ($\alpha$ opposé à $A$, etc.)

Montrer que ces deux triangles ont même isobarycentre. Modèle:Solution

Exercice 3-3

Soit $ABC$ un triangle ; on suppose que $A^{\prime }$ divise le segment $BC$ dans le rapport $2$ à $3$ (c'est-à-dire $\frac{\overline{B{A}^{\prime }}}{\overline{BC}}=2/3$), que $B^{\prime }$ divise le segment $AC$ dans le rapport $3/5$, et que $(A{A}^{\prime })$ et $(B{B}^{\prime })$ se coupent en $G$. Déterminer $a$ et $c$ tels que $G$ soit le barycentre de $(A,a),(B,1),(C,c)$. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Soient $A,B,C$ non alignés, et $a,b,c$ trois réels non nuls de somme nulle. On désigne par $A^{\prime }$ le barycentre de $(B,b),(C,c)$, $B^{\prime }$ celui de $(C,c),(A,a)$ et $C^{\prime }$ celui de $(A,a),(B,b)$. Montrer que les trois droites $(A{A}^{\prime }),(B{B}^{\prime }),(C{C}^{\prime })$ sont parallèles. Modèle:Solution

Exercice 3-5

Soient $A,B,C$ trois points non alignés d'un plan affine. On se propose de déterminer, par trois méthodes différentes, l'ensemble des points ayant mêmes coordonnées dans le repère $ℛ=(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et dans le repère $ℛ\text{'}=(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$. Les trois questions sont donc indépendantes.

1. Exprimer les coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ dans $ℛ\text{'}$ d'un point quelconque du plan en fonction de ses coordonnées $(x,y)$ dans $ℛ$, puis résoudre $x^{\prime }=x,y^{\prime }=y$ et conclure.
2. Montrer qu'un point $M$ de coordonnées barycentriques $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ dans $(A,B,C)$ est solution du problème si et seulement si $\alpha =\beta$. Montrer que ceci équivaut à « $M$ est un barycentre de $I$ et de $C$ », où $I$ désigne le milieu de $(A,B)$, puis conclure.
3. Soit $s$ l'unique application affine qui fixe $C$ et intervertit $A$ et $B$. Montrer que $M$ est solution du problème si et seulement si $s(M)=M$. Interpréter $s$ géométriquement, puis conclure.

Exercice 3-6

Dans un plan affine, soient $(A,B,C)$ un repère affine et $M$ un point de coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans ce repère (donc $x+y+z=1$). On désigne par $P,Q,R$ les symétriques de $M$ par rapport aux milieux de $(B,C),(C,A),(A,B)$ respectivement.

1. Donner les coordonnées barycentriques de $P,Q,R$.
2. Montrer que $(AP),(BQ),(CR)$ sont concourantes en un point $M^{\prime }$ aligné avec $M$ et l'isobarycentre de $(A,B,C)$.

Exercice 3-7

On se place dans un plan affine. Soient $(A,B,C)$ un triangle non aplati et $k$ un réel différent de $1$. Démontrer qu'il existe un unique triangle $(A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })$ tel que

$\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=k\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\mathrm{e}\mathrm{t}\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{C{A}^{\prime }},$,

en précisant les coordonnées barycentriques de $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ dans le repère $(A,B,C)$. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Dans un plan affine, soient $(A,B,C)$ un triangle (non aplati), $I$ le milieu de $(B,C)$, $𝒟$ une parallèle à $(AI)$, $\{B^{\prime }\}=𝒟\cap (AB)$, $\{C^{\prime }\}=𝒟\cap (AC)$ et $I^{\prime }$ l'intersection de $𝒟$ avec la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. On se propose de démontrer, par trois méthodes différentes, que $I^{\prime }$ est le milieu de $(B^{\prime },C^{\prime })$.

1. (1Modèle:Re méthode) Soit $J$ le milieu de $(B^{\prime },C^{\prime })$.

a) Démontrer qu'il existe $\alpha ,\beta ,\gamma \in ℝ$ (uniques) tels que

$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\beta \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\gamma \overrightarrow{AC}$.

b) Prouver que $\gamma =-\beta =\alpha$.

c) Déduire de a) et b) que $(AJ)$ est parallèle à $(BC)$.

d) En déduire que $I^{\prime }=J$.

2. (2Modèle:E méthode) Soit $C^{″}$ le point (unique) tel que $I^{\prime }$ soit le milieu de $(B^{\prime },C^{″})$.

a) Soit $s$ la symétrie par rapport à $(AI)$, parallèlement à $(A{I}^{\prime })$. Démontrer que $s$ envoie $(AC)$ sur $(AB)$.

b) Soit $s^{\prime }$ la symétrie par rapport à $(A{I}^{\prime })$, parallèlement à $(AI)$. Démontrer que $s^{\prime }$ envoie $(A{B}^{\prime })$ sur $(A{C}^{″})$.

c) Déduire de a) et b) que la symétrie par rapport à $A$ envoie $(AC)$ sur $(A{C}^{″})$.

d) En déduire que $A,C,C^{″}$ sont alignés, puis, que $C^{\prime }=C^{″}$.

3. (3Modèle:E méthode) Soit $\{P\}=𝒟\cap (BC)$.

a) Démontrer (en utilisant deux fois Thalès) que

$\frac{\overline{I^{\prime }P}}{\overline{I^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{\overline{IC}}{\overline{IP}}$.

b) Démontrer de même que

$\frac{\overline{I^{\prime }P}}{\overline{I^{\prime }{B}^{\prime }}}=\frac{\overline{IB}}{\overline{IP}}$.

c) En déduire que $\frac{\overline{I^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{I^{\prime }{C}^{\prime }}}=-1$ et conclure. Modèle:Solution