Généralités sur les fonctions/Exercices/La corde sensible

Présentation

Les cordes d'un violon produisent des sons en vibrant. La fréquence de vibration (en Hertz) d'une corde dépend :

• de sa longueur (en mètres) ;
• et de sa tension T (en Newtons).

Pour une longueur utile de Modèle:Unité, la fréquence est donnée par l’expression :

$f(T)=50\sqrt{T}$.

Questions de compréhension

1) Quel peut être l’ensemble de définition de la fonction $f$ ? Justifier.

2) Conjecturer le sens de variation de $f$.

3) Justifier par un argument physique.

4) Tracer sur calculatrice la courbe représentative de $f$ et dessiner un "compte rendu de tracé" ?

5) Cela confirme-t-il la réponse du 2) ? Modèle:Solution

Calculs

1) a) Calculer l'image de $144$ par $f$.

b) Donner une interprétation physique de ce calcul.

2) a) Déterminer les antécédents de $440$ par $f$.

b) Pourquoi faut-il exclure une solution négative ?

c) Donner une interpétation physique de ce calcul.

3) a) Exprimer $f(2T)$ en fonction de $f(T)$.

b) Si l’on double la tension, quel effet cela a-t-il sur la fréquence ?

4) Pour doubler la fréquence de la corde, quel changement faut-il apporter à la tension ? Justifier par un calcul. Modèle:Solution

Démonstration

1) Démontrer que pour deux nombres réels positifs distincts u et v, on a :

$\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}$.

2) En déduire que si $u\le v$ alors $f(u)\le f(v)$.

3) Conclure quant au sens de variation de $f$. Modèle:Solution