Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

Décomposition en éléments simples dans les réels

Principes généraux

Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré. Modèle:Théorème

Exemples de décompositions

Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré

Pour décomposer

$\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$

en éléments simples, observons d’abord

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 2² − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

$\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}=\frac{10x^2+12x+20}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+4}$.

Les différentes étapes sont :

• En multipliant par $x-2$ il vient :

  $\frac{(x-2)(10x^2+12x+20)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=(x-2)\frac{A}{x-2}+(x-2)\frac{Bx+C}{x^2+2x+4}$,

  soit :

  $\frac{10x^2+12x+20}{x^2+2x+4}=A+(x-2)\frac{Bx+C}{x^2+2x+4}$.

• En posant $x=2$ :

  $\frac{10.2^2+12.2+20}{2^2+2.2+4}=A+(2-2)\frac{Bx+C}{2^2+2.2+4}$,

  soit : $7=A$.

• En remplaçant $A$ par $7$ et en posant $x=0$, il vient :

  $\frac{10.0^2+12.0+20}{(0^2+2.0+4)(0-2)}=\frac{7}{0-2}+\frac{B.0+C}{0^2+2.0+4}$,

  $\frac{20}{4.(-2)}=\frac{7}{-2}+\frac{C}{4}$,

  soit : $C=4$.

• En remplaçant $A$ par $7$, $C$ par $4$ et en posant $x=1$ :

  $\frac{10.1^2+12.1+20}{1^2+2.1+4}=\frac{7}{1-2}+\frac{B.1+4}{1^2+2.1+4}$,

  soit : $B=3$.

• La décomposition en éléments simples réels est donc :

  $\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}=\frac{7}{x-2}+\frac{3x+4}{x^2+2x+4}$.

Passage par les complexes

On peut décomposer sur $ℂ$ la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.

Exemple : $F(x)=\frac{1}{X^4+1}$. Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :

$\alpha ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}},\overline{\alpha }=\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}},\beta =-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=-\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}},\overline{\beta }=-\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$.

$F(X)=\frac{a}{X-\alpha }+\frac{b}{X-\overline{\alpha }}+\frac{c}{X-\beta }+\frac{d}{X-\overline{\beta }}$.

Par la méthode du cache,

$a=\frac{1}{(\alpha -\overline{\alpha })(\alpha -\beta )(\alpha -\overline{\beta })}=\frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2}({\alpha }^2+\alpha \sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\mathrm{i}\sqrt{2}(\mathrm{i}+1+\mathrm{i}+1)}=\frac{-1-\mathrm{i}}{4\sqrt{2}}$.

Puisque $F$ est réelle,

$b=\overline{a}=\frac{-1+\mathrm{i}}{4\sqrt{2}}$ et

$\frac{a}{X-\alpha }+\frac{b}{X-\overline{\alpha }}=2\mathrm{Re}\left(\frac{a(X-\overline{\alpha })}{X^2-X\sqrt{2}+1}\right)=\frac{-\frac{X}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}}{X^2-X\sqrt{2}+1}$.

Par parité de $F$, on en déduit :

$\frac{c}{X-\beta }+\frac{d}{X-\overline{\beta }}=\frac{\frac{X}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}}{X^2+X\sqrt{2}+1}$.

Répétition d'un facteur irréductible du second degré

Décomposons $\frac{25}{(x+2)(x^2+1{)}^2}$.

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

$\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1{)}^2}$.

La détermination de A se fait en multipliant par $x+2$ et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

$F(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{R(x)}{(x^2+1{)}^2}$,

ce qui donne

$\frac{R(x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{25}{(x+2)(x^2+1{)}^2}-\frac{1}{x+2}=\cdots =\frac{-x^3+2x^2-6x+12}{(x^2+1{)}^2}$.

En remplaçant $x^2+1$ par y, c'est-à-dire $x^2$ par $y-1$ :

$\frac{R(x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-xy+x+2y-2-6x+12}{y^2}=\frac{-x+2}{y}+\frac{-5x+10}{y^2}=\frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1{)}^2}$.

La décomposition finale est donc

$\frac{25}{(x+2)(x^2+1{)}^2}=\frac{1}{x+2}+\frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1{)}^2}$.