Fractions rationnelles/Corps des fractions rationnelles

Soit $K$ un corps commutatif (par exemple $\mathbb{Q}$, $ℝ$ ou $ℂ$). L'anneau $K[X]$ des polynômes sur $K$ est commutatif et intègre.

Définitions

Modèle:Définition Une telle écriture existe et les autres écritures de la même fraction seront de la forme $\frac{SP}{SQ}$ (avec $S$ polynôme non nul), ce qui légitime la définition, donnée ci-dessus, du degré de la fraction.

Exemple : soit $F=\frac{X^4-16}{X^2-3X+2}$. Après simplification par $X-2$, $F=\frac{X^3+2X^2+4X+8}{X-1}$.

Exemple : reprenons la fraction $F$ de l'exemple précédent. On a $F=\frac{(X-2\mathrm{i})(X+2\mathrm{i})(X+2)}{X-1}$ donc 1 est l'unique pôle (d'ordre 1) de $F$ et $\{-2,\pm 2\mathrm{i}\}$ sont les zéros (d'ordre 1) de $F$.

Modèle:Théorème

Pour le prouver, on s'appuie sur le théorème de division euclidienne dans $K[X]$.

• En algèbre, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle est son expression sous une somme de fractions dont chacune a pour dénominateur une puissance d'un polynôme irréductible et pour numérateur un polynôme de degré strictement inférieur au degré de ce polynôme irréductible.
• De même qu'on différencie un polynôme de la fonction polynomiale associée, il faut, plus généralement, différencier chaque fraction rationnelle de la fonction rationnelle' associée. Si cette identification ne pose pas de problème lorsque le corps de base est $K=\mathbb{Q},ℝ\mathrm{o}\mathrm{u}ℂ$, elle n'est plus légitime sur les corps finis : prendre par exemple $F=\frac{1}{X^2+X}$ sur le corps $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.