Formule du crible/Exercices/Application de la formule du crible

Modèle:Clr

Exercice 1-1

Soit n urnes numérotées de 1 à n. Dans chaque urne se trouvent p boules numérotées de 1 à p. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Soit (X_k)_{k∈〚1;n〛} un vecteur aléatoire donc chaque composante X_k indique le numéro de la boule tirée dans l’urne numéro k. Soit maintenant Y la variable aléatoire réelle définie par :

$Y=\underset{k\in [[1;n]]}{\min }(X_k)$

1. Donner la fonction de répartition de Y.
2. En déduire la loi de Y.

Exercice 1-2

Dans cette cantine, 135 plateaux-repas sont servis. Trois éléments peuvent composer un plateau-repas : entrée, plat principal et dessert et tout plateau comporte soit l'un de ces éléments, soit deux éléments distincts, soit les 3 éléments.

On a dénombré :

• 79 plateaux contenant (au moins) une entrée ;
• 97 plateaux contenant un plat principal ;
• 59 plateaux contenant un dessert ;
• 51 plateaux contenant une entrée et un plat principal ;
• 44 plateaux contenant un plat principal et un dessert ;
• 36 plateaux contenant une entrée, un plat principal et un dessert.

1. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert ont été servis ?
2. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert et ne contenant pas de plat principal ont été servis ?

Exercice 1-3

1. Soient $N,d\in {\mathbb{N}}^{*}$. Quel est le nombre d'entiers (strictement positifs) inférieurs ou égaux à $N$ qui sont des multiples de $d$ ?
2. Dans l'ensemble $\{1,2,\dots ,1000\}$, on enlève tous les multiples de $2$, $3$, $5$ et $7$. Quel est le cardinal de l'ensemble obtenu ?
3. Toujours dans $\{1,2,\dots ,1000\}$, quel est le cardinal de l'ensemble obtenu une fois qu'on a enlevé tous les multiples de $8$, $12$ et $15$ ?

Exercice 1-4

Soient $A,B,C,D$ quatre ensembles tels que $|A|=18$, $|B|=23$, $|C|=21$, $|D|=17$, $|A\cap B|=9$, $|A\cap C|=7$, $|A\cap D|=6$, $|B\cap C|=12$, $|B\cap D|=9$, $|C\cap D|=12$, $|A\cap B\cap C|=4$, $|A\cap B\cap D|=3$, $|A\cap C\cap D|=5$, $|B\cap C\cap D|=7$ et $|A\cap B\cap C\cap D|=3$. Quel est le cardinal de $A\cup B\cup C\cup D$ ? Modèle:Solution