Fonctions trigonométriques/Exercices/Problèmes divers

Exercice 11-1

1°  Étudier la variation de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\cos x-x$.

2°  En déduire le nombre des solutions de l'équation définie dans $ℝ$ par $\cos x=x$.

3°  On considère la suite $(u_n{)}_{n⩾0}$ définie par :

$u_{n+1}=\cos u_n$ et $u_0=1$.

Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n\in [0,1]$, puis majorer $|u_{n+1}-u_n|$ par une expression de la forme $M|u_n-u_{n-1}|$ avec $M<1$.

En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers la solution de l'équation définie au 2°.

4°  Donner un encadrement de cette solution.

5°  Interpréter graphiquement la formation de la suite $(u_n)$ en utilisant les courbes d'équations respectives $y=x$ et $y=\cos x$.

6°  Donner une valeur approchée à 10^–2 près de la solution de l'équation définie au 2°. Modèle:Solution

Exercice 11-2

On donne :

$\{\begin{array}{c}\tan x=\sqrt{2}-1\\ \tan y=\sqrt{2}+1.\end{array}$

1°  Calculer $\tan 2x$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation définie dans $ℝ$ par :

$\tan x=\sqrt{2}-1$.

2°  Calculer $\tan (y-x)$. En déduire l'ensemble des solutions de l’équation définie dans $ℝ$ par :

$\tan y=\sqrt{2}+1$.

Exercice 11-3

Soient $x,y\in ]0,\frac{\pi }{2}[$ définis par

$\{\begin{array}{c}\tan x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\ \tan y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\end{array}$

Prouvez que $x+y=\frac{\pi }{2}$. Modèle:Solution