Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

Racines d'un trinôme

On a donc six possibilités :

	Si $\mathrm{\Delta }>0$	Si $\mathrm{\Delta }=0$	Si $\mathrm{\Delta }<0$
Si a > 0	Deux racines réelles	Une racine double	Pas de racine réelle
Si a < 0	Deux racines réelles	Une racine double	Pas de racine réelle

Variations d'une fonction trinôme

Théorème : Le tableau de variations dépend du signe de a

Si a est positif x $-\mathrm{\infty }$ $-\frac{b}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $\searrow$ $\nearrow$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$

Si a est négatif x $-\mathrm{\infty }$ $-\frac{b}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $\frac{4ac-b^2}{4a}$ $\nearrow$ $\searrow$ $-\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$

Remarques :

• L'abscisse de l'extremum $-\frac{b}{2a}$ correspond à la moyenne des deux racines quand elles existent, la parabole est symétrique.
• La valeur de l'extremum $\frac{4ac-b^2}{4a}$ n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.

Signe d'un trinôme

En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.

Théorème :

Si $\mathrm{△}=0$

Si a est positif x $-\mathrm{\infty }$ $\frac{-b}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $+$ $0$ $+$

Si a est négatif x $-\mathrm{\infty }$ $\frac{-b}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $-$ $0$ $-$

Si $\mathrm{△}>0$

Si a est positif x $-\mathrm{\infty }$ $\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ $\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

Si a est négatif x $-\mathrm{\infty }$ $\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ $\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ $+\mathrm{\infty }$ f $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

Si $\mathrm{△}<0$

Si a est positif x $-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ f $+$

Si a est négatif x $-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ f $-$

Somme et produit des racines

Quand un trinôme possède deux racines $x_{1}et{x}_2$, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.

Liens

• Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
• Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante