Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités

Exercice 8-1

Soit $x>0$.

1. Montrer, par la formule de Taylor-Lagrange, qu'il existe un nombre $c_x\in ]0,x[$ tel que $\sin x=x-\frac{x^3}{6}\cos (c_x)$.
2. En utilisant la formule de Taylor-Young en 0 à l'ordre 5 de $\sin x$, montrer que $\cos (c_x)=1-\frac{x^2}{20}+x^2\epsilon (x)$ où $\underset{0}{\lim }\epsilon =0$.

Exercice 8-2

Calculer le développement limité de $\mathrm{arsinh}(1+2x+3x^2)$ en 0 à l'ordre 3. Modèle:Solution

Calculer le développement limité de $({\sin }^{2}x-\sin (x^2))({\mathrm{e}}^{\tan x}-{\mathrm{e}}^{\tanh x})$ en 0 à l'ordre 9. Modèle:Solution

Calculer le développement limité de $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(\arcsin x{)}^2}$ en 0 à l'ordre 5. Modèle:Solution

Calculer le développement limité de $\frac{1}{x}-\frac{a}{\ln (1+x)}-\frac{b}{{\mathrm{e}}^x-1}$ en 0 à l'ordre 2. Modèle:Solution

Exercice 8-3

Soit $f$ admettant en 0 le développement limité suivant à l'ordre 2 :

$f(x)=ax+b{x}^2+o(x^2)$ avec $a\ne 0$.

Elle admet donc, au voisinage de 0, une fonction réciproque possédant un d.l. à l'ordre 2 en 0 :

$f^{-1}(y)=\frac{y}{a}+c{y}^2+o(y^2)$.

Déterminer $c$. Modèle:Solution Soient $f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ et $g(x)=x+a{x}^3+b{x}^5+o(x^5)$.

Trouver $a$ et $b$ pour que $f\circ g(x)=x+x^5+o(x^5)$, et calculer alors le d.l. de $g\circ f$ (en 0, à l'ordre 5). Modèle:Solution

Exercice 8-4

Soit $f(x)=\{\begin{array}{cc}\cos \sqrt{x}& \text{si }x\ge 0\\ \cosh \sqrt{-x}& \text{si }x<0.\end{array}$

Démontrer que $f$ admet à tout ordre un d.l. en 0, que l'on précisera. Modèle:Solution

Exercice 8-5

Soit $n\in \mathbb{N}$.

1. En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que pour tout $x>0$,

   ${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+{\mathrm{e}}^x\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$.

2. En déduire que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=n!$.

Exercice 8-6

Redémontrer le théorème de Taylor-Young par application itérée de la première règle de l'Hôpital. Modèle:Solution

Exercice 8-7

Donner les d.l. à l'ordre 3 :

• en 0 de $\cos \times \sin$ ;
• en 0 de ${\sin }^{\circ k}:=\sin \circ \sin \circ \dots \circ \sin$, $k$ fois (la k-ième itérée de $\sin$, à ne pas confondre avec la k-ième puissance, ${\sin }^{k}x:=(\sin x{)}^k=o(x^3)$, pour tout $k>3$) ;
• en 0 de ${(1+x)}^{\alpha }$, pour un réel $\alpha$ fixé ;
• en 1 de ${\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}$.

Exercice 8-8

Calculer les limites en $+\mathrm{\infty }$ des trois fonctions suivantes ($a,b,c,d\in ℝ$, $a>0$) :

• $f(x)=(x+1{)}^a-x^a$ ;
• $g(x)=(cx+d)\ln (ax+b)\sin \frac{1}{x\ln x}$ ;
• $h(x)=\frac{x^6+2x^4+x^2}{x^2+1}-x^3\sqrt{x^2+2}$.

Exercice 8-9

On donne l'Modèle:W

$(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=T$

où $P,T,V$ désignent respectivement la pression, la température et le volume occupé par un gaz et $R,a,b$ sont des constantes.

Quand $V$ devient infiniment grand et $T$ reste constant, donner un développement limité à l'ordre 2 de $P$ en fonction de l'infiniment petit $\frac{1}{V}$. Modèle:Solution

Exercice 8-10

Déterminer les asymptotes et les positions par rapport à ces asymptotes des courbes suivantes :

1. $y=\ln \cosh x$ ;
2. $y=\frac{\sqrt{1+x^4+x^6}}{1+x^2}$.

Étudier les fonctions suivantes :

$f(x)=x\ln |2+\frac{1}{x}|$, $g(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$, $h(x)=(x-\frac{1}{x}){\mathrm{e}}^{1/x}$.

Exercice 8-11

On pose $f(x)=\frac{x^3}{1+x^6}$. En utilisant un d.l. de $f$ en 0 à un ordre adéquat, calculer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n\ge 0$. Modèle:Solution Soient $I$ un intervalle ouvert contenant 0 et $f$ une fonction définie sur $I$ par :

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\in I{f}^{\prime }(x)=\tan (x+f(x))\\ f(0)=\pi /4.\end{array}$

Former le d.l. de $f$ en 0 à l'ordre 4. Modèle:Solution

Exercice 8-12

On définit sur ${ℝ}^{*}$ une fonction CModèle:Exp : $g:x\mapsto \underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{\cos t}{t}\mathrm{d}t$.

À l'aide d'un d.l. de $\cos$, montrer que $g$ admet un prolongement deux fois dérivable en 0. Modèle:Solution

Exercice 8-12

Déterminer le développement limité à l'ordre 10 en 0 de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=\underset{x}{\overset{2x^2}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt[3]{1+t^4}}$. Modèle:Solution

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