Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Dérivabilité

Exercice 1

Soit

$\begin{array}{ccccc}f& :& [0,1]& \to & ℝ\\ & & x& \mapsto & \arcsin (1-x^3).\end{array}$

Montrer que $f$ est de classe CModèle:Exp. Modèle:Solution

Soit $f(x)=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-1/x}& \text{si }x>0\\ 0& \text{si }x\le 0\end{array}$. Montrer que $f$ est CModèle:Exp. Modèle:Solution

Soit $f(x)=x^2|x|$ pour tout $x\in ℝ$. Montrer que $f$ est de classe CModèle:Exp et donner $f^{\prime }(x)$ et $f^{″}(x)$. Modèle:Solution

Exercice 2 : Généralisation du théorème de Rolle

Soient $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$ et $f:]a,b[\to ℝ$ une fonction dérivable qui possède en $a$ et $b$ une même limite $L$ (éventuellement infinie).

En utilisant soit l'exercice 1 de la série sur la continuité, soit l'exercice 3 de cette même série, montrer qu’il existe un réel $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\prime }(c)=0$.

Modèle:Solution Application 1 : soient $P$ et $Q$ deux polynômes réels, $P$ ayant une racine réelle $a$, et $Q$ vérifiant $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }Q=+\mathrm{\infty }$. Démontrer que $P^{\prime }-P{Q}^{\prime }$ a une racine réelle $>a$. Modèle:Solution Application 2 : dans le plan euclidien ${ℝ}^2$, on donne un point $M(a,b)$ avec $a,b>0$. Une droite variable passant par $M$ coupe l'axe des $x$ en $P$ (sur la demi-droite des $x\ge 0$) et l'axe des $y$ en $Q$ (sur la demi-droite des $y\ge 0$). Montrer qu'il y a une longueur minimale du segment $[PQ]$, la calculer, et donner alors les positions de $P$ et $Q$. Modèle:Solution

Exercice 3

Inspiré de Cristinel Mortici, « A converse of the mean value theorem made easy », International Journal of Mathematical Education, vol. 42, Modèle:N°, 2011, Modèle:P..

1. Soient
   • $f:ℝ\to ℝ$ la fonction définie par : $f\left(0\right)=0$ et $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}f\left(x\right)=x^2\sin (1/x)$ ;
   • $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ les deux suites (convergeant vers $0$) définies par : $\frac{1}{x_n}=2n\pi +\frac{\pi }{2}$ et $\frac{1}{y_n}=2n\pi -\frac{\pi }{2}$.
     Montrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f\left(y_n\right)-f\left(x_n\right)}{y_n-x_n}\ne f^{\prime }\left(0\right)$.
2. Soient
   • $g:]a,b[\to ℝ$ une fonction dérivable en un point $c$ ;
   • $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ deux suites convergeant vers $c$ telles que $a<x_n<c<y_n<b$.
     Montrer que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g\left(y_n\right)-g\left(x_n\right)}{y_n-x_n}=g^{\prime }\left(c\right)$.

1. Démontrer, sans la calculer, que la dérivée de la fonction $f$ ci-dessus n'est pas continue en $0$.
2. En déduire qu'il existe une fonction $G:[-1/2,1/2]\to ℝ$ croissante et dérivable, telle que $G^{\prime }$ soit discontinue en $0$ et $G^{\prime }(-1/2)=G^{\prime }(1/2)=0$.
3. Utiliser $G$ pour construire une fonction $F$, croissante et dérivable sur $ℝ$, telle que les points de discontinuité de $F^{\prime }$ soient les entiers relatifs.

Modèle:Solution Soit, à nouveau, la fonction $f$ ci-dessus. Étudier l'existence et comparer les valeurs éventuelles de

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\mathrm{e}\mathrm{t}\underset{h\to 0}{\lim }\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$.

Exercice 4

Soit $P\in ℝ[X]$, de degré $n\ge 2$.

1. Montrer que si $P$ est scindé à racines simples (c'est-à-dire s'il a $n$ racines réelles distinctes), alors $P^{\prime }$ est scindé à racines simples.
2. Montrer que si $P$ est scindé (c'est-à-dire si la somme des ordres de multiplicité de ses racines réelles est $n$), alors $P^{\prime }$ est scindé.

1. Montrer qu'un polynôme de la forme $P(X)=X^n+aX+b$ ($n\ge 2$) possède au plus trois racines réelles distinctes.
2. Généraliser ce résultat aux polynômes de la forme $P(X)=X^n+a_p{X}^p+a_{p-1}{X}^{p-1}+\dots +a_0$ avec $0<p<n$.

Modèle:Solution Soit $P$ un polynôme de degré $d$. Montrer que le graphe de la fonction $x\mapsto P(x)$ intersecte le graphe de la fonction exponentielle en au plus $d+1$ points. Modèle:Solution

Exercice 5

Soit $f:[0,1]\to ℝ$ dérivable en 0. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on pose $u_n=\left(\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right)\right)-nf(0)$.

1. On pose $v_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}{f}^{\prime }(0)$. Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n$.
2. Montrer que $|u_n-v_n|\le \sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}|\frac{f\left(\frac{k}{n^2}\right)-f(0)}{\frac{k}{n^2}}-f^{\prime }(0)|$.
3. Montrer que $\lim (u_n-v_n)=0$ puis en déduire $\lim u_n$.
4. Application : déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n(1+\frac{k}{n^2})$.

Exercice 6

Donner la dérivée n-ième de $f:x\mapsto x^2(x+1{)}^n$. Modèle:Solution

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, soit $f_n(x)=x^n\ln x$ (pour $x>0$). Démontrer par récurrence que $f^{(n)}(x)=n!(\ln x+u_n)$, avec $u_n=\sum _{1\le k\le n}\frac{1}{k}$. Modèle:Solution

Soit $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$. Donner une expression de $f^{(n)}(x)$ (utiliser la décomposition de $f$ en éléments simples). Modèle:Solution

Exercice 7

Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ une fonction dérivable telle que $f\circ f=f$. Montrer que $f$ est soit constante, soit l'application identité. Modèle:Solution

Exercice 8

Calculer les dérivées et donner le domaine de définition des fonctions réelles de la variable réelle :

1. $y=\arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ (quelle relation existe-t-il entre $y$ et $\arccos$ ?)
2. $y=\frac{\tan (x+1)}{x+1}$
3. $y=\arccos \frac{1-x^2}{1+x^2}$ (quelle relation existe-t-il entre $y$ et $\arctan$ ?)
4. $y=\arctan \frac{1}{x}$ (quelle relation existe-t-il entre $y$ et $\arctan$ ?)
5. $y=\arcsin (2x\sqrt{1-x^2})$ (quelle relation existe-t-il entre $y$ et $\arcsin$ ? dessiner le graphe de $y$).

Modèle:Solution Calculer les dérivées des fonctions suivantes (sur le domaine où elles sont dérivables) :

$f(x)=\frac{1}{1+\tan x},g(x)=\sin \frac{x^3}{\cos (x^3)},h(x)={(1+\frac{1}{x})}^x$.

Modèle:Solution Soit $f:ℝ\to ℝ$ une fonction dérivable. Calculer les dérivées des fonctions $u(x)={\sin }^2(f(x))$, $v(x)=\sin (f(x{)}^2)$ et $w(x)=\sin (f(x^2))$. Modèle:Solution

Exercice 9

1. Calculer la dérivée de $f:x\mapsto (x^2+1)\sin x$.
2. Montrer que l'équation $(x^2+1)\cos x+2x\sin x=0$ admet au moins une solution dans $]0,\pi [$.

Modèle:Solution Soit $f(x)=x^n{\mathrm{e}}^{-x}$. Démontrer que $f^{(n)}(x)=P(x){\mathrm{e}}^{-x}$ où $P$ est un polynôme, et que $P$ possède une racine réelle $>0$. Modèle:Solution

Exercice 10

Pour tout $x\in ]1,+\mathrm{\infty }[$, on pose $f(x)=x\ln x-x$.

1. Montrer que $f$ est une bijection de $]1,+\mathrm{\infty }[$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$.
2. Soit $g=f^{-1}$ (l'application réciproque de $f$). Calculer $g(0)$ et $g^{\prime }(0)$.

Soit $f(x)=x^3-3x+1$. Déterminer le plus grand intervalle contenant $0$ sur lequel $f$ admet une fonction réciproque $g$ dérivable. Précisez le domaine de définition de $g$ et calculer son ensemble image. Calculer $g^{\prime }(1)$. Modèle:Solution On pose $f(x)=2x+x^2\cos \frac{1}{x}$ si $x\ne 0$ et $f(0)=0$.

1. Étudier la dérivabilité de $f$.
2. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}[$.
3. Calculer $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)$.

Exercice 11

Étudier les fonctions $f(x)=x^{(x^2)}$ et $g(x)=x^{\sqrt{x}}$. (Domaine de définition, tableau de variations, prolongement par continuité en $0$, dérivabilité…). Modèle:Solution

Exercice 12

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$, deux fois dérivables sur $]a,b[$, telles que

$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$ et $\mathrm{\forall }x\in [a,b]f^{″}(x)\le g^{″}(x)$.

Montrer que

$\mathrm{\forall }x\in [a,b]g(x)\le f(x)$.

Exercice 13

Pour tout entier $n\ge 2$, on considère le polynôme

$P_n(X)=X^n+X^{n-1}+X^2+X-1$.

1. Soit $n\ge 2$. Montrer que $P_n$ a une unique racine réelle positive, que l'on nommera ${\lambda }_n$.
2. Montrer que la suite $({\lambda }_n{)}_{n\ge 2}$ est croissante puis qu'elle converge, vers une limite que l'on notera $\ell$.
3. Montrer que $\ell$ est racine du polynôme $X^2+X-1$. En déduire sa valeur.

Exercice 14

Soient $f:ℝ\to ℝ$, $k\in ]-1,1[$ et $a\in ℝ$ tels que

$\frac{f(x)-f(kx)}{x}=a$.

1. Soit $\epsilon >0$. Montrer qu'il existe $\eta >0$ tel que

   $0<|x|<\eta \text{ et }n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow |\frac{f(x)-f(k^{n}x)}{x}-\frac{1-k^n}{1-k}a|\le \frac{1-|k{|}^n}{1-|k|}\epsilon$.

2. En déduire que si $f$ est continue en 0 alors $f^{\prime }(0)=\frac{a}{1-k}$.

Exercice 15

Soient $a,b\in ℝ$, $c,d\in {ℝ}^{*}$, et $f:ℝ\to ℝ$ définie par : $f(x)=a+bx+c{\mathrm{e}}^{dx}$.

1. Montrer que $\mathrm{\forall }x,h\in ℝ$ avec $h\ne 0$, il existe un unique réel dans $]0,1[$, indépendant de $x$ et noté $\theta (h)$, tel que $f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x+h\theta (h))$.
2. Montrer que ${\mathrm{e}}^x-1-x{\sim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2}$. En déduire $\underset{0}{\lim }\theta$.

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