Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Formule de Simpson

1. Soit g impaire et 5 fois dérivable sur [-1;1].

Montrer qu’il existe $\theta \in ]0;1[$ tel que $g(1)=\frac{1}{3}(g^{\prime }(1)+2g^{\prime }(0))-\frac{1}{180}{g}^{(5)}(\theta )$

Indication : Poser $\phi (t)=g(t)-\frac{t}{3}(g^{\prime }(t)+2g^{\prime }(0))+\frac{A}{180}{t}^5$, A étant choisi tel que φ(1)=0

2. Soit $f:[a,b]\to ℝ$ 5 fois dérivable.

Montrer qu’il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(b)=f(a)+\frac{b-a}{6}(f^{\prime }(a)+f^{\prime }(b)+4f^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right))-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(5)}(c)$