Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité

Exercice 1

Soient $x_1,...,x_n$ des réels positifs. Montrer que ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le n\sum _{i=1}^n{x}_i^2$

Exercice 2

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement supérieurs à $1$. Montrer que $\ln \left(\frac{a+b}{2}\right)\ge \sqrt{\ln a\ln b}$.

Exercice 3

Soient $I,J$ des intervalles de ℝ, $f:I\to J$ une fonction convexe et $g:J\to ℝ$ une fonction convexe et croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe.

Exercice 4

Référence : Modèle:Lien web, proposition 6.

Soit $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ une fonction concave (c'est-à-dire telle que $-f$ est convexe) telle que $f(0)\ge 0$.

Montrer que $f$ est sous-additive, c'est-à-dire que (pour tous $x,y\in {ℝ}_{+}$) :

$f(x+y)\le f(x)+f(y)$.

Exercice 5

Inspiré de : Modèle:Lien web, exercice 66 (non corrigé, et qui énonce le même résultat principal mais avec une idée de preuve qui semble insuffisante).

Soit $f:I\to ℝ$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

1. Vérifier que si $f$ est strictement convexe ou strictement concave alors « le $c$ des accroissements finis est toujours unique », c'est-à-dire :

   $\mathrm{\forall }a,b\in I\mathrm{\exists }!c\in ]a,b[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$.

2. Réciproquement, on suppose maintenant que « le $c$ des accroissements finis est toujours unique ».
   1. Soient $T=\{(x,y,z)\in I^3\mid x<y<z\}$ et $F:T\to ℝ,(x,y,z)\mapsto \frac{f\left(z\right)-f\left(y\right)}{z-y}-\frac{f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}$. Démontrer que $F$ est de signe constant.
   2. En déduire que $f$ est strictement convexe ou strictement concave.

Exercice 6

À l'aide du théorème de Darboux, démontrer que si une fonction convexe (sur un intervalle réel) est dérivable, alors sa dérivée est continue.

Exercice 7

Référence : Modèle:Ouvrage, th. 4.9.11.

Une fonction $f:I\to ℝ$ (où $I$ est un intervalle réel) est dite quasi convexe si pour tous $a<c<b$ dans $I$, $f\left(c\right)\le \max (f\left(a\right),f\left(b\right))$.

1. Vérifier que toute fonction convexe est quasi convexe.
2. Vérifier que s'il existe dans $I$ deux intervalles complémentaires $I_1<I_2$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit décroissante sur $I_1$ et croissante sur $I_2$, alors $f$ est quasi convexe.
3. On veut montrer la réciproque. On suppose donc que $f$ est quasi convexe. On pose $I_1:=\{x\in I\mid \mathrm{\exists }y\in Iy>x\text{ et }f\left(y\right)<f\left(x\right)\}$ et $I_2:=I\setminus I_1$.
   1. Vérifier que $f$ est croissante sur $I_2$.
   2. Montrer que pour tout $x\in I_1$ et tout $z<x$ dans $I$, on a $f\left(z\right)\ge f\left(x\right)$ et $z\in I_1$.
   3. Conclure.
4. Donner un exemple de fonction quasi convexe et non convexe.
5. On suppose maintenant que $f$ est convexe. En reprenant les notations de la question 3.2, montrer que sur $I_1$, $f$ est strictement décroissante. Par changement de variable $t\mapsto -t$, en déduire qu'il existe dans $I_2$ deux intervalles complémentaires $I_{21}<I_{22}$ (l'un des deux pouvant être vide) tels que $f$ soit constante sur $I_{21}$ et strictement croissante sur $I_{22}$.