Fonctions d'une variable complexe/Intégrales curvilignes

Chemins dans le plan complexe

Modèle:Exemple

On peut toujours se ramener à des chemins définis sur l'intervalle $[0,1]$ via un changement de variable affine. Ainsi, $\gamma (t)$ défini pour $t\in [a,b]$ se ramène à ${\gamma }_0:[0,1]\to ℂ$, avec ${\gamma }_0(u)=\gamma ((b-a)u+a)$.

On confondra souvent dans le langage informel un chemin et son image.

Chemins homotopes

Soient $\gamma$ et $\mathrm{\Gamma }$ deux chemins tels que :

$\gamma ,\mathrm{\Gamma }:[a,b]\to \mathrm{\Omega }\subset ℂ$

On introduit alors la notion suivante :

Cette définition signifie que deux chemins possédant les mêmes extrémités sont homotopes si l'un peut se déformer continûment sur l'autre. En particulier, l'image de $H$ dans $ℂ$ ne contient pas de "trou topologique".

Modèle:Définition

Connexité simple

Concrètement, lorsqu'un ensemble est "troué", on ne peut contracter les lacets qui font le tour d'un de ces trous, c’est le cas pour un anneau ou un disque épointé, par exemple. La simple connexité dans le plan est la propriété des ensembles qui n'ont pas de trou.

Intégrale curviligne

Notation alternative pour l'intégrale curviligne et lien avec l'analyse vectorielle

On a aussi $\gamma (t)={\gamma }_1(t)+i{\gamma }_2(t)$ où $\gamma (t{)}_1$ et ${\gamma }_2$ désignent respectivement les parties réelles et imaginaires de $\gamma$. On peut alors définir $\overrightarrow{\gamma (t)}=({\gamma }_1(t),{\gamma }_2(t))$

$\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{\overrightarrow{\gamma }}{\int }f\mathrm{d}x+if\mathrm{d}y$ (intégration par rapport à la partie réelle et imaginaire) ce qui montre le lien entre l'intégrale curviligne dans $ℂ$ et l'intégrale curviligne de fonctions vectorielles. Puisque toute fonction $f:ℂ\to ℂ$ est équivalente à une fonction vectorielle $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$

Inégalité ML

Modèle:Lemme Cette inégalité est très utile pour l'évaluation des intégrales curvilignes, en particulier pour montrer que certaines intégrales curvilignes sont nulles.

Indice d'un lacet

L'indice d'un lacet $\gamma$ par rapport à un point $z_0\in ℂ$, noté $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}(\gamma ,z_0)$ est "le nombre de tours" que fait le lacet autour de ce point. Ce nombre est positif pour les tours dans le sens trigonométrique (direct, anti-horlogique) et négatif dans le sens inverse (indirect, horlogique).

Ce lacet a un indice égal à deux autour de p (Ind(C,p)=2).

Primitive des fonctions holomorphes

Modèle:Bas de page