Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen

Modèle:Chapitre L’inégalité de Jensen est une généralisation de l’inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres, comme la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart de ces inégalités seraient délicates à démontrer autrement.

Préliminaire

Rappelons le théorème démontré au premier chapitre et connu sous le nom d’inégalité de Jensen. Modèle:Théorème

Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant :

Il suffit de poser λ₁ = λ₂ = … = λ_n = 1/n dans le théorème de Jensen. Nous allons voir plusieurs applications de l’inégalité de Jensen.

Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder

L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du Modèle:Chap.1).

Application 4 : forme intégrale de l'inégalité de Jensen

La forme discrète de l’inégalité de Jensen Modèle:Supra correspond au cas particulier où $g$${\displaystyle }$ ne prend qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Inversement, la forme intégrale peut se déduire de la forme discrète par des arguments de densité (à comparer avec l'[[../Exercices/Sur l’inégalité de Jensen|exercice 1.4]]). Mais on peut aussi en donner une preuve directe :

On déduit entre autres de ce théorème une forme intégrale de l'inégalité de Hölder qui, de même, généralise l'inégalité de Hölder discrète ci-dessus : cf. [[../Exercices/Sur l’inégalité de Jensen#Exercice 1-5|Exercice 1-5]].