Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin

La fonction sinus est une surjection de $ℝ$ vers $[-1,1]$. Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme $I_k:=[-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ],k\in \mathbb{Z}$, car sa restriction à $I_k$ est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple ($I_0$), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

La fonction arc sinus

La courbe représentative de $\arcsin$ se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à $I_0$) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :

Courbe représentative de $\arcsin (x)$

Variations

Puisque $\sin$ est continue et strictement croissante sur $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, on a : Modèle:Propriété

Tableau de variation

$x$	$-1$ $+1$
$\arcsin (x)$	$+\frac{\pi }{2}$ $\nearrow$ $-\frac{\pi }{2}$