Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arccos

Exercice 3-1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\arccos \frac{x}{2-x}$

1. Quel est son domaine de définition ?
2. Calculer $f^{\prime }(x)$.
3. Donner le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en $0$.

Exercice 3-2

Soit $a>0$ fixé.

1. Donner le domaine de définition ${\mathrm{\Delta }}_a$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\arccos \frac{a-x}{a+x}$.
2. Montrer que $f$ est strictement monotone sur ${\mathrm{\Delta }}_a$.
3. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$, de domaine de définition $D$ à préciser.
4. Pour $y\in D$, expliciter $f^{-1}(y)$.
5. Vérifier sur cet exemple la formule de la dérivée d'une bijection réciproque.

Exercice 3-3

1. Calculer $\arccos x+\arccos (-x)$ et $\tan (\arccos x)$ pour $-1\le x\le 1$.
2. Calculer $\arccos \sqrt{\frac{1+\sin x}{2}}$.