Fonctions circulaires/Formules de duplication

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux formules qui relient les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.

Certaines formules possèdent une interprétation géométrique intéressante.

Formules

$\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x = 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x$

$\sin (2 x) = 2 \cos x \sin x$

On démontre ici par une méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.

On se place dans un losange de côté 1.

On nomme $α$ un des angles qui varie entre 0 et $\frac{π}{2}$ .

On a alors dans le triangle $A C E$ rectangle en $E$ :

A E = F D = \cos α

C E = B F = \sin α

B E = C F = 1 - \cos α

donc l'aire du losange est :

\begin{matrix} 𝒜_{l o s a n g e} & = 𝒜_{A C E} + 𝒜_{E B F C} + 𝒜_{B F D} \\ = \frac{\cos α \sin α}{2} + \sin α (1 - \cos α) + \frac{\cos α \sin α}{2} \\ = \sin α . \end{matrix}

Remarquons enfin que si l'on considère l'angle adjacent à $α$ , le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.

Donc notre résultat est valable pour un angle $α$ variant entre $0$ et $π$ .

On se place dans un triangle de côté 1.

On nomme $α$ un des angles qui varie entre 0 et $π$ .

On a alors dans le triangle $A D B$ rectangle en $D$ :

A D = \cos \frac{α}{2}

B D = \sin \frac{α}{2}

donc l'aire du triangle $A B C$ est :

𝒜_{A B C} = \cos \frac{α}{2} \sin \frac{α}{2}

.

En combinant les deux résultats précédents, on obtient :

\sin α = 𝒜_{l o s a n g e} = 2 𝒜_{A B C} = 2 \cos \frac{α}{2} \sin \frac{α}{2}

.

La figure ci-contre constitue une preuve tout aussi élémentaire de la formule plus générale

\sin (α + β) = \cos α \sin β + \sin α \cos β

.