Fonctions circulaires/Exercices/Tangente

On considère la fonction tangente, $\tan =\frac{\sin }{\cos }$, et l'on note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_{\tan }$ de cette fonction.

2.

a. Montrer que $\mathrm{\forall }x\in D_{\tan }$ on a $x+\pi \in D_{\tan }$ et $\tan (x+\pi )=\tan (x)$.

b. Interpréter géométriquement ce résultat.

c. Sur quel intervalle suffit-il d'étudier la fonction ?

3.

a. Étudier la parité de la fonction $\tan$ et interpréter géométriquement le résultat.

b. Sur quel intervalle suffirait-il de faire l'étude de la fonction $\tan$ ?

4. Soit un réel $x\in ]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$. Exprimer en fonction de $\tan (x)$ les réels $\tan (k\pi +x)$ où $k\in \mathbb{Z}$, $\tan (-x)$, $\tan (\frac{\pi }{2}-x)$ et $\tan (\frac{\pi }{2}+x)$.

5. Donner la valeur exacte des réels $\tan (0),\tan \left(\frac{\pi }{6}\right),\tan \left(\frac{\pi }{4}\right),\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)$.

6. Montrer que pour tout réel $x\in D_{\tan }$ on a $1+\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.