Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives

Principe

Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$, quitte à « compenser » l'expression par une constante multiplicative.

Inverse d’une fonction affine

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle I où cela est possible.

• $f(x)=\frac{4}{4x-3}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u^{\prime }(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in I$

• $f(x)=\frac{1}{2x+1}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u^{\prime }(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in I$

• $f(x)=\frac{-3}{4x-3}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u^{\prime }(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in I$

Remarque : La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.

Si u n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à u’

• $f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u^{\prime }(x)=\cdots$
  • Donc $F(x)=\cdots$

• $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u^{\prime }(x)=\cdots$
  • Donc $F(x)=\cdots$

Primitive prenant une valeur fixée

Problématique : On désire trouver la primitive F de ƒ telle que F(a) = b en fixant correctement la constante K.

• $f:x\mapsto \frac{x^2}{x^3+1}$, définie sur ${ℝ}^{+}$

Déterminer la primitive F de ƒ sur ${ℝ}^{+}$ telle que $F(2)=-3$.

• Pour tout $x\in {ℝ}^{+},u(x)=\cdots$
• Donc une primitive de ƒ est définie par :$F_0(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{+}$
• La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :$F(x)=F_0(x)+K=\cdots +K\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{+}$
• $-3=F(2)=\cdots$
• Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :$F(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{+}$

• $f:x\mapsto \frac{-x}{x^2+5}$, définie sur $ℝ$

Déterminer la primitive F de ƒ telle que $F(-1)=3$.

• Pour tout $x\in ℝ,u(x)=\cdots$
• Donc une primitive de ƒ est définie par : $F_0(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in ℝ$
• La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=F_0(x)+K=\cdots +K\mathrm{\forall }x\in ℝ$
• $3=F(-1)=\cdots$
• Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=\cdots \mathrm{\forall }x\in ℝ$

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