Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle

On considère la fonction :

$\begin{array}{ccccc}g& :& ]-1;+\mathrm{\infty }[& \to & ℝ\\ & & x& \mapsto & \frac{1}{2}\ln (1+x)-\frac{1}{4}\end{array}$

1. Calculer $g^{\prime }$

2. Étudier les variations de $g$.

3. Étudier la limite de $g$ en $-1$.

4. Étudier la limite de $g$ en $+\mathrm{\infty }$

5. Tracer la courbe représentative de $g$.

6. Démontrer que $g$ est solution de l'équation différentielle $(E):(1+x)y^{\prime }+2y=\ln (1+x)$

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