Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme

Dans tout le problème, $I$ désigne l'intervalle $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Partie A

Soit $g$ la fonction définie par pour tout $x\in I,g(x)=x^2+6-4\ln (x)$.

On admet que le tableau de variation de $g$ est le suivant :

$\begin{array}{cccccc}x& 0& & \sqrt{2}& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe~de}{g}^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ \text{Variations~de}g& & \searrow & & \nearrow & \end{array}$

1. Calculer $g(\sqrt{2})$.

2. En déduire que $g$ est une fonction positive sur l'intervalle $I$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in I$ par$f(x)=\frac{x}{4}-\frac{1}{2x}+\frac{\ln (x)}{x}$

1. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$, et $𝒞$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique Modèle:Unité.

a. Étudier la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$.

b. Étudier la limite de $f$ en 0 et en déduire l’existence d'une asymptote à la courbe $𝒞$.

c. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{4x^2}$

d. Déduire de la partie A le signe de $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in I$ puis le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $I$.

e. Faire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.

2. Soit $𝒟$ la droite d'équation $y=\frac{x}{4}$

a. Montrer que la droite $𝒟$ est asymptote à la courbe $𝒞$.

b. Montrer que le point d'intersection de $𝒞$ et de $𝒟$ a pour coordonnées $(\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}{4})$.

c. Sur l'intervalle $I$, déterminer la position de la courbe $𝒞$ par rapport à la droite $𝒟$.

3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite $𝒟$ et la courbe $𝒞$.

4. On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $I$ par pour tout $x\in I,h(x)=-\frac{1}{2x}+\frac{\ln (x)}{x}$

a. En remarquant que $\frac{\ln (x)}{x}$ est de la forme $u^{\prime }(x)u(x)$, déterminer une primitive de la fonction $h$, que l’on notera $H$.

b. Calculer en $c{m}^2$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $𝒞$, la droite $𝒟$ et les droites d'équations $x=\sqrt{e}$ et $x=e$.