Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

Exemple

On considère des fonctions de la forme : $\ln (u)$ où $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ .

Par exemple, la fonction $f$ définie par : $f (x) = \ln (2 x + 1) \forall x \in I$ , est la fonction composée :

de la fonction affine $u$ définie par : $u (x) = 2 x + 1 \forall x \in I$
de la fonction logarithme népérien.

Or, la fonction $\ln$ n'est définie que sur $] 0, + \infty [$ .

Pour que $f$ soit définie en $x \in ℝ$ , il faut et il suffit que $u (x) > 0$ , c'est-à-dire $x > - \frac{1}{2}$ .

Le domaine de définition de $f$ est alors $I =] - \frac{1}{2}, + \infty [$ .

Pour calculer $f^{'}$ , on utilise la formule : $f^{'} (x) = a \cdot f^{'} (a x + b) \forall x \in I$

En reprenant l'exemple ci-dessus, l’expression de la dérivée de $f$ est la suivante : $f^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 1} \forall x \in I$

Ici, $u^{'} (x) = a$ . On généralise ce procédé dans le cas où $u$ n’est pas forcément une fonction affine :

Modèle:Théorème

La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :

Modèle:Proposition