Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien

Étude des variations de la fonction logarithme népérien

En effet, $\mathrm{\forall }x>0{\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$

Étude du signe de la fonction logarithme népérien

$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 1& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe de }\ln (x)& & -& 0& +& \end{array}$

En effet, $\ln$ est strictement croissante et s'annule en $1$.

Étude des limites aux bornes du domaine de définition de la fonction logarithme népérien

Limite en +∞

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x)=+\mathrm{\infty }$ Modèle:Démonstration déroulante

Limite en 0Modèle:Exp

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\mathrm{\infty }$

Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.

Courbe représentative

Le nombre e et l’équation ln(x) = 1

D’après le tableau de variations, $\ln$ est une bijection de $]0,+\mathrm{\infty }[$ sur $ℝ$. En particulier :

(En fait, e est même transcendant.) Modèle:Bas de page