Fonction exponentielle/Travail pratique/Distance entre droite et exponentielle

On nomme C la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé.

et D la droite d'équation $y=\frac{1}{2}x$ dans ce même repère.

L'objectif de cette activité est de déterminer la plus petite distance entre C et D.

Conjectures

1.a) Tracer C et D avec un logiciel adapté.

b) Emettre une conjecture concernant leurs positions relatives.

c) Soit $a$ un nombre réel, et soit M le point de C d'abscisse $a$.

Soit $d(a)$ la distance de M à la droite D.

Placer M et faire varier le point M sur C.

Afficher les valeurs de $d(a)$ correspondantes.

d) Emettre une conjecture concernant les valeurs de $a$ minimisant $d(a)$.

e) Tracer point par point la courbe représentative de $d(a)$.

Démonstrations

2.a) Démontrer la conjecture 1.a)

b) Déterminer en fonction de $a$ la distance $d(a)$ de M à la droite D.

c)Donner une condition nécessaire pour que $d(a)$ soit minimale.

d) Déterminer les valeurs de $a$ vérifiant cette condition.

e) Démontrer la conjecture 1.d).

f) En quoi cette étude résout-elle le problème de départ ?