Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme népérien, on en déduit immédiatement les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit $\exp$ comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement.

Propriété fondamentale

Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1.

Conséquences

Les formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.

Notation

Cette notation étend donc aux exposants réels celle des puissances entières, de façon compatible d'après la propriété algébrique ci-dessus : le nombre $\mathrm{e}$ élevé à une puissance entière $n$ est bien égal à $\exp (n)$. Cette propriété [[../Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle#Exercice 5|s'étend même au cas où $n$ est un rationnel]], voire, un réel.

Application

• Soit x tel que e^x = 3,56. Calculer e^2x+3 sans calculer x.

• Déterminer une valeur approchée de ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}$ sans utiliser la touche « e^x » de la calculatrice.